题目内容

【题目】如图,已知△ABC内接于⊙O,且AB=AC,直径AD交BC于点E,F是OE上的一点,使CF∥BD.

(1)求证:BE=CE;

(2)试判断四边形BFCD的形状,并说明理由;

(3)若BC=8,AD=10,求CD的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)四边形BFCD是菱形.证明见解析;(3)

【解析】

试题分析:(1)证明△ABD≌△ACD,得到∠BAD=∠CAD,根据等腰三角形的性质即可证明;

(2)菱形,证明△BFE≌△CDE,得到BF=DC,可知四边形BFCD是平行四边形,易证BD=CD,可证明结论;

(3)设DE=x,则根据CE2=DEAE列方程求出DE,再用勾股定理求出CD.

试题解析:(1)∵AD是直径,

∴∠ABD=∠ACD=90°,

在Rt△ABD和Rt△ACD中,

∴Rt△ABD≌Rt△ACD,

∴∠BAD=∠CAD,

∵AB=AC,

∴BE=CE;

(2)四边形BFCD是菱形.

证明:∵AD是直径,AB=AC,

∴AD⊥BC,BE=CE,

∵CF∥BD,

∴∠FCE=∠DBE,

在△BED和△CEF中

∴△BED≌△CEF,

∴CF=BD,

∴四边形BFCD是平行四边形,

∵∠BAD=∠CAD,

∴BD=CD,

∴四边形BFCD是菱形;

(3)∵AD是直径,AD⊥BC,BE=CE,

∴CE2=DEAE,

设DE=x,

∵BC=8,AD=10,

∴42=x(10-x),

解得:x=2或x=8(舍去)

在Rt△CED中,

CD=

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