题目内容

已知矩形ABCD的面积为36，以此矩形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，设点A的坐标为（x，y），其中x＞0，y＞0．
（1）求出y与x之间的函数关系式，求出自变量x的取值范围；
（2）用x、y表示矩形ABCD的外接圆的面积S，并用下列方法，解答后面的问题：
方法：∵ $数学公式$ （k为常数且k＞0，a≠0），
∵ $数学公式$
∴ $数学公式$
∴当 $数学公式$ =0，即 $数学公式$ 时， $数学公式$ 取得最小值2k．
问题：当点A在何位置时，矩形ABCD的外接圆面积S最小并求出S的最小值；
（3）如果直线y=mx+2（m＜0）与x轴交于点P，与y轴交于点Q，那么是否存在这样的实数m，使得点P、Q与（2）中求出的点A构成APQ的面积是矩形ABCD面积的 $数学公式$ ？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）建立如图的平面直角坐标系，
根据点A（x，y），得矩形的长是2x，宽是2y，
则有2x•2y=36，即y= $\text{[math]}$ （x＞0）；

（2）连接OA，则矩形的外接圆的半径即为OA的长，根据勾股定理，得OA= $\text{[math]}$ ，
∴矩形的外接圆面积S=π（x²+y²）
∵x²+y²=x²+ $\text{[math]}$ =（x- $\text{[math]}$ ）²+18
∴当x- $\text{[math]}$ =0，x=3时，即A（3，3）时S最小，其最小值是18π；

（3）存在．设AB与y轴相交于点E，
由已知，得A（3，3），Q（0，2），P（- $\text{[math]}$ ，0），
∴S_△PAQ=S_梯形APOE-S_△AQE-S_△POQ=3- $\text{[math]}$ =6，
∴m=- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据矩形的对称性和点A的坐标表示出矩形的长和宽，再根据矩形的面积建立函数解析式；
（2）要求矩形的外接圆的面积，主要是求得矩形的外接圆的半径．根据对称性得矩形的外接圆的圆心是平面直角坐标系的原点，则根据勾股定理求得其外接圆的半径，再进一步表示出其外接圆的面积S．结合（1）中的函数解析式得到S关于x的函数解析式，再根据提供的方法进行分析其最小值；
（3）根据直线的解析式表示出点P，Q的坐标，再运用割补法把三角形的面积转化为规则图形的面积表示出三角形的面积，根据题意列方程求解．
点评：解答本题时要特别注意根据提供的方法求得函数的最值，能够把不规则图形的面积进行转换．