题目内容
如图,圆内接四边形ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,AC=2,则四边形ABCD的面积为( )
A、4 | ||
B、2 | ||
C、
| ||
D、
|
分析:连接BD,在AC上取CE=CD,连接DE,作AF⊥BC,交BC延长线于F,作AG⊥DC,交CD于G,先证明△ABD是等边三角形,再证明△CDE同样是等边三角形,可得BC+CD=AC=2,在构造的直角三角形中利用三角函数分别求出△ABC和△ACD的高,根据四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD即可求解.
解答:解:连接BD,
∵∠BAD=60°,AB=AD,
∴△ABD是等边三角形.
在AC上取CE=CD,连接DE,
∵∠ECD=∠ABD=60°,
∴△CDE同样是等边三角形,
∴CE=CD=DE,BD=AD,∠ADE=∠ADB-∠EDB,∠BDC=∠EDC-∠EDB,
∴∠ADE=∠BDC,
∴△ADE≌△BDC,
∴AE=BC,
∴BC+CD=AC=2
作AF⊥BC,交BC延长线于F,作AG⊥DC,交CD于G,
∠ACB=∠ADB=60°(同弧圆周角相等)
AF=ACsin60°=
×2=
同理,AG=ACsin60°=
,
四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=
BC•AF+
AG•CD=
×
(BC+CD)=
AC=
.
故选D.
∵∠BAD=60°,AB=AD,
∴△ABD是等边三角形.
在AC上取CE=CD,连接DE,
∵∠ECD=∠ABD=60°,
∴△CDE同样是等边三角形,
∴CE=CD=DE,BD=AD,∠ADE=∠ADB-∠EDB,∠BDC=∠EDC-∠EDB,
∴∠ADE=∠BDC,
∴△ADE≌△BDC,
∴AE=BC,
∴BC+CD=AC=2
作AF⊥BC,交BC延长线于F,作AG⊥DC,交CD于G,
∠ACB=∠ADB=60°(同弧圆周角相等)
AF=ACsin60°=
| ||
2 |
3 |
同理,AG=ACsin60°=
3 |
四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
| ||
2 |
3 |
故选D.
点评:本题难度比较大,其中涉及了多步辅助线的作法.分析题意正确地作出辅助线是解题的关键.其中在AC上取CE=CD,连接DE,构造等边三角形是个难点.求出BC+CD=AC=2是求四边形面积的关键步骤.
练习册系列答案
相关题目