题目内容
(1)15个席位同等地围绕着圆桌安排,席上有15个客人的名片,客人们没有注意这些名片,直到他们坐下来,才发觉没有一个人坐在自己的名片前面,证明可以转动圆桌使得至少有两个客人同时对号入座.
(2)举出一种入席顺序的例子,使这15个人中恰好有一个客人对号入座,而转动圆桌并不能使更多的客人对上号.
(2)举出一种入席顺序的例子,使这15个人中恰好有一个客人对号入座,而转动圆桌并不能使更多的客人对上号.
考点:抽屉原理
专题:
分析:(1)将圆桌的转动共有15种状态,其中一种状态没有人对号入座,则剩下14种状态构成14个抽屉,而共有15个事件(每个人恰好对准自己的名片记为事件),利用抽屉原理即可解答;
(2)对席位进行编号,名片也编号,标记名片和席位,根据转动情况进行推理.
(2)对席位进行编号,名片也编号,标记名片和席位,根据转动情况进行推理.
解答:解:(1)一个圆桌经过转动共有15种状态(可理解为对应15个人名片分别对着客人A),其中一种状态没有人对号入座,则剩下14种状态构成14个抽屉,每个人恰好对准自己的名片记为事件,共有15个事件,因此必有两个事件在同一个抽屉里,即可以转动圆桌,使得至少有两位客人同时坐在自己的名片前.
(2)对席位编号i,相应的名片是16-i,此时恰好一个人在自己的名片前,顺时针转动圆桌24k[1≤k≤15]度,对于名片16-i而言,它将转到s的位置,且s≡i+k[mod15][1≤s≤15],若客人坐在自己的名片前面有s=16-i,①i+k=16-i,2i+k=16; ②i+k-15=16-i,2i+k=31,可见当k为偶数时必有一个解,对应①,k为奇数时也必有一个解对应②,而k确定时,i是唯一的.于是其他的人让不能坐在自己的位置上.
(2)对席位编号i,相应的名片是16-i,此时恰好一个人在自己的名片前,顺时针转动圆桌24k[1≤k≤15]度,对于名片16-i而言,它将转到s的位置,且s≡i+k[mod15][1≤s≤15],若客人坐在自己的名片前面有s=16-i,①i+k=16-i,2i+k=16; ②i+k-15=16-i,2i+k=31,可见当k为偶数时必有一个解,对应①,k为奇数时也必有一个解对应②,而k确定时,i是唯一的.于是其他的人让不能坐在自己的位置上.
点评:本题考查了抽屉原理的应用,要明确,抽屉原理表述的是一种存在性,依赖严格的逻辑推理.
练习册系列答案
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已知等腰三角形一个外角等于120°,则它的顶角是( )
A、60° | B、20° |
C、60°或20° | D、不能确定 |
计算(1-
)(2+
)等于( )
2 |
3 |
A、3-
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B、2+
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C、3 | ||||||
D、2+
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