题目内容

如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，交OC于点E，连接CD，OD．给出以下四个结论：①S_△DEC= $数学公式$ S_△AEO；②AC∥OD；③线段OD是DE与DA的比例中项；④2CD²=CE•AB．其中结论正确的是

A.
①②③
B.
①②④
C.
②③
D.
②④

D
分析：①过点E作EM⊥AC于点M，易得CE：OE= $\text{[math]}$ ：1，又由△DCE的高＜△AOE的高OA，可得S_△DEC＜ $\text{[math]}$ S_△AEO；
②易求得∠CAD=∠DAO=∠CAB，则可证得AC∥OD；
③可证得∠DAB=∠CAD= $\text{[math]}$ ∠COD，即可得△DOE与△DAO不相似，则可得线段OD不是DE与DA的比例中项；
④可证得△CED∽△CDO，由相似三角形的对应边成比例，即可得到2CD²=CE•AB．
解答：

解：①过点E作EM⊥AC于点M，
∵AO=CO，AO⊥CO，
∴∠CAO=∠ACO=45°，
∴CM=ME，
∵AD平分∠CAB分别交OC于点E，EO⊥AO，EM⊥AC，
∴ME=EO，
∴CM=ME=EO，
∴CE= $\text{[math]}$ ME= $\text{[math]}$ EO，
∴CE：OE= $\text{[math]}$ ：1，
∵OA=OB，
∴△DCE的高＜△AOE的高OA，
∴S_△DEC＜ $\text{[math]}$ S_△AEO，
故①错误．
②∵AB是半圆直径，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=∠DAO=∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴②正确．
③∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠DAB=∠CAD= $\text{[math]}$ ∠COD，
∴△DOE与△DAO不相似，
∴OD²≠DE•AD，
即线段OD不是DE与DA的比例中项，
故③错误．
④∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠COD= $\text{[math]}$ ×90°=45°，
∴∠CAD= $\text{[math]}$ ×45°=22.5°，
∵AB是半圆直径，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°，
∵∠CAD=∠ADO=22.5°，
∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°，
∴△CED∽△CDO，
∴CD：OC=CE：CD，
∴CD²=OC•CE= $\text{[math]}$ AB•CE，
∴2CD²=CE•AB．
∴④正确．
综上所述，只有②④正确．
故选D．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、圆周角定理以及角平分线的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．