题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）（﹣
，
）
【解析】
（1）将A（-3，0），B（0，3），C（1，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；
（2）先证明△AOB是等腰直角三角形，得出∠BAO=45°，再证明△PDE是等腰直角三角形，则PE越大，△PDE的周长越大，再运用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+3，则可设P点的坐标为（x，-x2-2x+3），E点的坐标为（x，x+3），那么PE=（-x2-2x+3）-（x+3）=-（x+）2+
，根据二次函数的性质可知当x=-时，PE最大，△PDE的周长也最大．将x=-代入-x2-2x+3，进而得到P点的坐标．
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），
∴
，
解得
，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（2）∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°．
∵PF⊥x轴，
∴∠AEF=90°﹣45°=45°，
又∵PD⊥AB，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴PE越大，△PDE的周长越大．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则
，解得
，
即直线AB的解析式为y=x+3．
设P点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），E点的坐标为（x，x+3），
则PE=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，
所以当x=﹣时，PE最大，△PDE的周长也最大．
当x=﹣时，﹣x2﹣2x+3=﹣（﹣）2﹣2×（﹣）+3=，
即点P坐标为（﹣，）时，△PDE的周长最大．
