Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=48，点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）求证：AE=DF；

（2）当四边形BFDE是矩形时，求t的值；

（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．×

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）6s；（2）8s.

【解析】分析：（1）由∠DFC=90°，∠C=30°，证出DF=2t=AE；

（2）当四边形BEDF是矩形时，△DEF为直角三角形且∠EDF=90°，求出t的值即可；

（3）先证明四边形AEFD为平行四边形．得出AB=3，AD=AC-DC=48-4t，若△DEF为等边三角形，则四边形AEFD为菱形，得出AE=AD，2t=48-4t，求出t的值即可；

详解：（1）在Rt△CDF中，∠C=30°，

∴DF=CD，

∴DF=4t=2t，

又∵AE=2t，

∴AE=DF．

（2）当四边形BFDE是矩形时，有BE=DF，

∵Rt△ABC中，∠C=30°

∴AB=AC=×48=24，

∴BE=AB-AE=24-2t，

∴24-2t=2t，

∴t=6．

（3）∵∠B=90°，DF⊥BC

∴AE∥DF，∵AE=DF，

∴四边形AEFD是平行四边形，

由（1）知：四边形AEFD是平行四边形

则当AE=AD时，四边形AEFD是菱形

∴2t=48-4t，

解得t=8，又∵t≤==12，

∴t=8适合题意，

故当t=8s时，四边形AEFD是菱形．