题目内容

在数学课上，老师给出以下条件和问题，要求同学们探索并得出结论：
（1）点A₁，A₂，A₃是抛物线y=2x²图象上的三点，若A₁，A₂，A₃三点的横坐标从左至右依次为1，2，3，求△A₁A₂A₃的面积；
（2）若将（1）中的抛物线改为y=2x²-4x+7，其他条件不变，那么△A₁A₂A₃的面积变不变？请求出△A₁A₂A₃的面积；
（3）若将抛物线改为y=ax²+bx+c （a＞0），其他条件不变，那么△A₁A₂A₃的面积又是多少呢？请说明理由；
（4）从中你发现了什么规律？请用一句话简单归纳．

【答案】分析：（1）由点A₁，A₂，A₃是抛物线y=2x²图象上的三点，若A₁，A₂，A₃三点的横坐标从左至右依次为1，2，3，即可求得A₁，A₂，A₃三点的纵坐标，又由S_△A1A2A3=S_梯形A1BDA3-S_梯形A1BCA2-S_梯形A2CDA3，即可求得△A₁A₂A₃的面积；
（2）解法同（1），即可得其他条件不变，那么△A₁A₂A₃的面积不变，即△A₁A₂A₃的面积为2；
（3）由点A₁，A₂，A₃是抛物线y=ax²+bx+c （a＞0）图象上的三点，若A₁，A₂，A₃三点的横坐标从左至右依次为1，2，3，即可求得A₁，A₂，A₃三点的纵坐标，又由S_△A1A2A3=S_梯形A1BDA3-S_梯形A1BCA2-S_梯形A2CDA3，即可求得△A₁A₂A₃的面积；
（4）可得规律：若点A₁ A₂ A₃是抛物线y=ax²+bx+c图象上的三点，且A₁，A₂，A₃，三点的横坐标从左至右依次为1，2，3，则△A₁A₂A₃的面积等于二次项系数的绝对值
解答：

解：（1）当点A₁ A₂ A₃是抛物线y=2x²图象上的三点，
若A₁，A₂，A₃，三点的横坐标从左至右依次为1，2，3，
∴A₁，A₂，A₃三点的纵坐标从左至右依次为2，8，18，
∴S_△A1A2A3=S_梯形A1BDA3-S_梯形A1BCA2-S_梯形A2CDA3=

×（2+18）×2-

×（8+18）×1-

×（2+8）×1=2；（4分）

（2）若将（1）中的抛物线改为y=2x²-4x+7，
其他条件不变，那么△A₁A₂A₃的面积不变，即：△A₁A₂A₃的面积为2；（4分）

（3）若将抛物线改为y=ax²+bx+c （a＞0），
∵若A₁，A₂，A₃，三点的横坐标从左至右依次为1，2，3，
∴A₁，A₂，A₃三点的纵坐标从左至右依次为a+b+c，4a+2b+c，9a+3b+c，
∴S_△A1A2A3=S_梯形A1BDA3-S_梯形A1BCA2-S_梯形A2CDA3=

×（a+b+c+9a+3b+c）×2-

×（a+b+c+4a+2b+c）×1-

×（4a+2b+c+9a+3b+c）×1=a；
∴△A₁A₂A₃的面积为a；（2分）

（4）从中发现规律：若点A₁ A₂ A₃是抛物线y=ax²+bx+c图象上的三点，
且A₁，A₂，A₃，三点的横坐标从左至右依次为1，2，3，
则△A₁A₂A₃的面积等于二次项系数的绝对值．----（2分）
点评：此题考查了点与二次函数的关系以及三角形面积的求解方法．此题难度较大，解题的关键是抓住△A₁A₂A₃的面积的求解方法，注意S_△A1A2A3=S_梯形A1BDA3-S_梯形A1BCA2-S_梯形A2CDA3，注意数形结合思想的应用．