题目内容

已知直线L：y=kx+b（k≠0，b为负数）与x轴、y轴的交点分别为A，B两点，其中A，B与坐标原点O围成的三角形面积等于12，且直线L与正比例函数y=3x平行．若直线L与一次函数y=4x+1相交于一点C．
（1）求出直线L的解析式；　　
（2）求△OAC的面积；
（3）利用图象试求：当x为何值时，不等式4x+1＜3x-6．

解：（1）∵直线L与正比例函数y=3x平行，
∴k=3，
∴直线L为y=3x+b，
点A（- $\text{[math]}$ ，0），B（0，b），
S_△AOB= $\text{[math]}$ |- $\text{[math]}$ |•|-b|=12，
整理得，b²=72，
解得b₁=6 $\text{[math]}$ （舍去），b₂=-6 $\text{[math]}$ ，
所以，直线L的解析式为y=3x-6 $\text{[math]}$ ；

（2）联立 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
所以，点C（-6 $\text{[math]}$ -1，-24 $\text{[math]}$ -3），
OA=- $\text{[math]}$ ×（-6 $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ ，
所以，S_△OAC= $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ ×（24 $\text{[math]}$ +3）=48+3 $\text{[math]}$ ；

（3）联立 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
所以交点坐标为（-7，-27），
由图可知，x＜-7时，不等式4x+1＜3x-6．
分析：（1）根据平行直线的解析式的k值相等求出k=3，然后求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长，再根据△AOB的面积列式求出b值，从而得解；
（2）联立两直线解析式求出交点C的坐标，然后求出点C到AB的距离，再根据三角形的面积列式进行计算即可得解；
（3）利用两点法作出函数图象，然后根据上方的图象的函数值比下方的图象的函数值的大解答．
点评：本题考查了两直线平行或相交的问题，主要利用了平行直线的解析式的k值相等，联立两函数解析式求交点坐标，应熟练掌握并灵活运用．