题目内容
【题目】如图,直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,抛物线y=a(x﹣2)2+k经过点A、B.求:
(1)点A、B的坐标;
(2)抛物线的函数表达式;
(3)在抛物线对称轴上是否存在点P,使得以A、B、P为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)A(1,0)、B(0,3).(2)y=(x﹣2)2﹣1.(3)所求的点为P1(2,3),P2(2,3+),P3(2,3﹣),P4(2,2).
【解析】
试题分析:(1)由y=﹣3x+3得,当x=0时,y=3;当y=0时,x=1,即可确定点A,B的坐标;
(2)把点A(1,0)、B(0,3)代入y=a(x﹣2)2+k得:,解得,即可解答;
(3)存在,由AO=1,BO=3,得到AB=.设对称x轴交于点D,P(2y),D(2,0),所以DA=1,PD=|y|,PA2=PD2+DA2=y2+1,分三种情况讨论解答:当PA=AB即PA2=AB2=10时;当PB=AB即PB2=AB2=10时;当PA=PB即PA2=PB2时.
解:(1)由y=﹣3x+3得,当x=0时,y=3;当y=0时,x=1
∴A(1,0)、B(0,3).
(2)把点A(1,0)、B(0,3)代入y=a(x﹣2)2+k得:
解得
∴抛物线的函数表达式为y=(x﹣2)2﹣1.
(3)∵AO=1,BO=3,
∴AB=.
设对称x轴交于点D,P(2,y),D(2,0),
∴DA=1,PD=|y|,PA2=PD2+DA2=y2+1,
当PA=AB即PA2=AB2=10时,
∴y2+1=10,
解得y=±3
∴P(2,±3),
但当P(2,﹣3)时,P、A、B在同一条直线上,不合题意舍去.
∴P1(2,3),
当PB=AB即PB2=AB2=10时,如图,过B作BE⊥对称轴于点E,
则E(2,3),EB=2,PE2=(y﹣3)2,
∴PB2=PE2+BE2=(y﹣3)2+4=10,
解得
∴P2(2,3+)、P3(2,3﹣),当PA=PB即PA2=PB2时,
y2+1=(y﹣3)2+4
解得y=2,
∴P4(2,2).
综上所述,所求的点为P1(2,3),P2(2,3+),P3(2,3﹣),P4(2,2).