题目内容
如下图,在边长为2个单位长度的正方形ABCD中,点O、E分别是AD、AB的中点,点F是以点O为圆心、OE的长为半径的圆弧与DC的交点,点P是上的动点,连结OP,并延长交直线BC于点K.
(1)当点P从点E沿运动到点F时,点K运动了多少个单位长度?
(2)过点P作所在圆的切线,当该切线不与BC平行时,设它与射线AB、直线BC分别交于点M、G.
①当K与B重合时,BG∶BM的值是多少?
②在点P运动的过程中,是否存在BG∶BM=3的情况?你若认为存在,请求出BK的值;你若认为不存在,试说明其中的理由.
一般地,是否存在BG∶BM=n(n为正整数)的情况?试提出你的猜想(不要求证明).
解析:
(1)如下图,连结OE、OF并延长分别交直线BC于N、Q. 当点P从点E运动到点F时,点K从点N运动到了点Q. ∵O、E分别为AD、AB的中点,∠A=90°, ∴∠AOE=45°. 过点O作OT⊥BC于T,则∠OTN=90°, 又∵ABCD是正方形,∴OT⊥AD,∠NOT=45°. ∴△OTN是等腰直角三角形,OT=NT=2. 同理,TQ=2. ∴NQ=4,即点K运动了4个单位长度. (2)如下图,当K与B重合时, ∵MG与所在的圆相切于点P,∴OB⊥MG, ∴∠2+∠3=90°. ∵∠1+∠3=90°,∴∠1=∠2. ∴Rt△BAO~Rt△GMB. ∴ 存在BG:BM=3的情况,分析如下: 如下图,假定存在这样的点P,使得BG:BM=3 过K作KH⊥OA于H, 那么,四边形ABKH为矩形,即有KH=AB=2 ∵MG与所在的圆相切于点P,∴OK⊥MG于P. ∴∠4+∠5=90° 又∵∠G+∠5=90°,∴∠4=∠G. 又∵∠OHK=∠GBM=90°,∴△OHK~△MBG. ∴. ∴OH=, ∴存在这样的点K,使得BG∶BM=3. ∴在点P运动的过程中,存在BG∶BM=3的情况. 同样的,可以证明:在线段BC、CD及CB的延长线上,存在这样的点、、使得:. 连结交AB于点则:=:=3, 此时=BC∴BK的值为 由此可以猜想,存在BG∶BM=n(n为正整数)的情况. |