题目内容

【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连接DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.

(1)求y关于x的函数关系式;
(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
(3)若y= ,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?

【答案】
(1)

解:∵EF⊥DE,

∴∠BEF=90°-∠CED=∠CDE,

又∠B=∠C=90°,

∴△BEF∽△CDE,

解得y=


(2)

解:由(1)得y=

将m=8代入,得y=-

=

所以当x=4时,y取得最大值为2;


(3)

解:∵∠DEF=90°,∴只有当DE=EF时,△DEF为等腰三角形,

∴△BEF≌△CDE,

∴BE=CD=m,

此时m=8-x,解方程

=

得x=6,或x=2,

当x=2时,m=6,

当x=6时,m=2.


【解析】本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来,在解题过程中,充分运用相似三角形对应边的比相等,建立函数关系式.(1)利用互余关系找角相等,证明△BEF∽△CDE,根据对应边的比相等求函数关系式;(2)把m的值代入函数关系式,再求二次函数的最大值;(3)∵∠DEF=90°,只有当DE=EF时,△DEF为等腰三角形,把条件代入即可.
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点,需要掌握增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小才能正确解答此题.

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