题目内容
【题目】如图，在
中，
，垂足为点
，
，
．
（1）若
，求
的长；
（2）若
，求的长．
【答案】（1）
；（2）6.
【解析】
（1）在直角△ABD与直角△ADC中，根据勾股定理知AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，据此可以求得AD的长度；
（2）作∠DAC的平分线AE，交BC于点E，作EF⊥AC于点F．易证△ADB≌△ADE≌△AFE，则BD=DE=EF=3，AD=AF，设AD=AF=y，则在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求得AD的长度．
解：（1）设AB=2x，AC=3x．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°
∴AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，
∴4x2-32=9x2-82
解得，x=
或x=
（舍去），
∴AC=3，
∴AD=（3）2-82=35，
则AD=；
（2）如图，作∠DAC的平分线AE，交BC于点E，作EF⊥AC于点F．
∵AE平分∠CAD，
，
∴∠BAD=∠DAE=∠EAF，
∵AD⊥BC，EF⊥AC，
∴∠ADB=∠ADE=∠AFE=90°，
∵AD为公共边，
∴△ABD≌△AED（ASA）；
∵AE为公共边，
∴△AED≌△AEF（AAS）；
∴AD=AF，BD=DE=EF=3，
∴CE=8-3=5，
在Rt△CEF中，由勾股定理，得
；
设AD=AF=y，在Rt△ACD中，由勾股定理，得
，
解得：
，
∴
；
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