Question

如图，平行四边形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，点F为DE的中点，且CF⊥DE，点M为线段CF上一点，使DM=BE，CM=BC．
（1）若AB=13，CF=12，求DE的长度；
（2）求证：∠DCM=

1

3

∠DMF．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）根据勾股定理求出DF，根据等腰三角形性质求出DE=2DF，代入求出即可．
（2）连接CE，证△CDM≌△CEB，推出∠CDM=∠CEB，根据平行线的性质得出∠CEB=∠DCM+∠ECF=2∠DCM，推出∠CDM=2μDCM，根据三角形外角性质求出即可．

解答：解：（1）∵平行四边形ABCD，
∴CD=AB=13，
又∵CF⊥DE，CF=12，
∴DF=

132-122

=5，
又∵F为DE中点
∴DE=2DF=10． 
                                            
（2）连接CE，
∵CF⊥DE，F为DE中点，
∴CD=CE，
∴∠DCF=∠ECF，
在△CDM和△CEB中

CD=CE CM=CB DM=BE

∴△CDM≌△CEB，
∴∠CDM=∠CEB，
又∵∠CEB=∠DCM+∠ECF=2∠DCM，
∴∠CDM=2∠DCM，
∴∠DMF=∠CDM+∠DCF=3∠DCM，
∴∠DCM=

1

3

∠DMF．

点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．