题目内容
（2012•盐城二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线AB：y=-
x+3分别与x轴、y轴分别交于点A、点B．动点P、Q分别从O、A同时出发，其中点P以每秒1个点位长度的速度沿OA方向向A点匀速运动，到达A点后立即以原速度沿AO返向；点Q以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿A-B-O方向向O点匀速运动．当点Q到达点O时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t（秒）．
（1）求点A与点B的坐标；
（2）如图1，在某一时刻将△APQ沿PQ翻折，使点A恰好落在AB边的点C处，求此时△APQ的面积；
（3）若D为y轴上一点，在点P从O向A运动的过程中，是否存在某一时刻，使得四边形PQBD为等腰梯形？若存在，求出t的值与D点坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，在P、Q两点运动过程中，线段PQ的垂直平分线EF交PQ于点E，交折线QB-BO-OP于点F．问：是否存在某一时刻t，使EF恰好经过原点O？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
| 3 | 4 |
（1）求点A与点B的坐标；
（2）如图1，在某一时刻将△APQ沿PQ翻折，使点A恰好落在AB边的点C处，求此时△APQ的面积；
（3）若D为y轴上一点，在点P从O向A运动的过程中，是否存在某一时刻，使得四边形PQBD为等腰梯形？若存在，求出t的值与D点坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，在P、Q两点运动过程中，线段PQ的垂直平分线EF交PQ于点E，交折线QB-BO-OP于点F．问：是否存在某一时刻t，使EF恰好经过原点O？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）分别求得直线AB与坐标轴的交点坐标即可求得A点与B点的坐标；
（2）当将△APQ沿PQ翻折，使点A恰好落在AB边的点C处时，∠AQP=90°，然后利用相似三角形求得线段AQ和线段PQ的长即可求得三角形APQ的面积；
（3）①若PD∥BQ，则梯形PQBD是等腰梯形．过D、P分分别作DM⊥AB于M，PN⊥AB于N．构造矩形PNMD．则有BM=QN，由PD∥BQ，得
=
，从而求得MB的值；在直角三角形APN中根据AP求得QN的值，然后由BM=QN，求得t，所以点E的坐标就迎刃而解了；
②若PQ∥BD，则等腰梯形PQBD中BQ=EP且PQ⊥OA于P点．由OP+AP=OA求得t值；
（4）①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t．再有边角关系求得BQ=AQ=
AD，解得t值；②②当P由A向O运动时，OQ=OP=8-t．在Rt△OGQ中，利用勾股定理得OQ2=QG2+OG2，列出关于t的方程，解方程即可．
（2）当将△APQ沿PQ翻折，使点A恰好落在AB边的点C处时，∠AQP=90°，然后利用相似三角形求得线段AQ和线段PQ的长即可求得三角形APQ的面积；
（3）①若PD∥BQ，则梯形PQBD是等腰梯形．过D、P分分别作DM⊥AB于M，PN⊥AB于N．构造矩形PNMD．则有BM=QN，由PD∥BQ，得
| OE |
| OB |
| OP |
| OA |
②若PQ∥BD，则等腰梯形PQBD中BQ=EP且PQ⊥OA于P点．由OP+AP=OA求得t值；
（4）①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t．再有边角关系求得BQ=AQ=
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）令y=-
x+3=0，解得x=4，
∴点A的坐标为（4，0）；
令x=0，得y=-
×0+3=3，
∴点B的坐标为：（0，3）；
（2）由题意知，此时△APQ≌△DPQ，∠AQP=90°，
此时△AQP∽△AOB，AQ=t，AP=4-t
∴
=
=
即：
=
=
解得：AQ=t=
，QP=
，
∴S△APQ=
AQ•PQ=
×
×
=
；
（3）存在，有以下两种情况
①若PE∥BQ，则等腰梯形PQBE中PQ=BE
过E、P分分别作EM⊥AB于M，PN⊥AB于N．
则有BM=QN，由PE∥BQ，
得
=
，
∴BM=
（3-
t）；
又∵AP=4-t，
∴AN=
（4-t），
∴QN=
（4-t）-t，
由BM=QN，得
（3-
t）=
（4-t）-t
∴t=
，
∴E（0，
）；
②若PQ∥BE，则等腰梯形PQBE中
BQ=EP且PQ⊥OA于P点
由题意知AP=
AQ=
t
∵OP+AP=OA，
∴t+
t=4
∴t=
，
∴OE=
，
∴点E（0，-
）
由①②得E点坐标为（0，
）或（0，-
）．
（4）连接OQ，并过点Q作QG⊥y轴y于G．
①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t．
可得∠QOA=∠QAO∴∠QOB=∠QBO
∴OQ=BQ=t
∴BQ=AQ=
AB
∴t=
当点Q由点B向点O匀速运动，即5＜t＜8时，△OPQ始终是等腰直角三角形，那么线段PQ的垂直平分线EF必定都经过原点O，所以5＜t＜8时也符合条件．
综上①、②、③所述，所有符合条件的t的值是t=
5≤t＜8；
②连接OQ，并过点Q作QG⊥y轴y于G．
当P由A向O运动时，OQ=OP=8-t
BQ=5-t，QG=
（5-t），OG=3-
（5-t）
在Rt△OGQ中，OQ2=QG2+OG2
即（8-t）2=[
（5-t）]2+[3-
（5-t）]2
∴t=5
| 3 |
| 4 |
∴点A的坐标为（4，0）；
令x=0，得y=-
| 3 |
| 4 |
∴点B的坐标为：（0，3）；
（2）由题意知，此时△APQ≌△DPQ，∠AQP=90°，
此时△AQP∽△AOB，AQ=t，AP=4-t
∴
| AQ |
| AO |
| AP |
| AB |
| QP |
| OB |
即：
| t |
| 4 |
| 4-t |
| 5 |
| QP |
| 3 |
解得：AQ=t=
| 16 |
| 9 |
| 4 |
| 3 |
∴S△APQ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 16 |
| 9 |
| 4 |
| 3 |
| 32 |
| 27 |
（3）存在，有以下两种情况
①若PE∥BQ，则等腰梯形PQBE中PQ=BE
过E、P分分别作EM⊥AB于M，PN⊥AB于N．
则有BM=QN，由PE∥BQ，
得
| OE |
| OB |
| OP |
| OA |
∴BM=
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
又∵AP=4-t，
∴AN=
| 4 |
| 5 |
∴QN=
| 4 |
| 5 |
由BM=QN，得
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
∴t=
| 28 |
| 27 |
∴E（0，
| 7 |
| 9 |
②若PQ∥BE，则等腰梯形PQBE中
BQ=EP且PQ⊥OA于P点
由题意知AP=
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∵OP+AP=OA，
∴t+
| 4 |
| 5 |
∴t=
| 20 |
| 9 |
∴OE=
| 5 |
| 3 |
∴点E（0，-
| 5 |
| 3 |
由①②得E点坐标为（0，
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| 9 |
| 5 |
| 3 |
（4）连接OQ，并过点Q作QG⊥y轴y于G．
①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t．
可得∠QOA=∠QAO∴∠QOB=∠QBO
∴OQ=BQ=t
∴BQ=AQ=
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∴t=
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| 2 |
当点Q由点B向点O匀速运动，即5＜t＜8时，△OPQ始终是等腰直角三角形，那么线段PQ的垂直平分线EF必定都经过原点O，所以5＜t＜8时也符合条件．
综上①、②、③所述，所有符合条件的t的值是t=
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| 2 |
②连接OQ，并过点Q作QG⊥y轴y于G．
当P由A向O运动时，OQ=OP=8-t
BQ=5-t，QG=
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在Rt△OGQ中，OQ2=QG2+OG2
即（8-t）2=[
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| 3 |
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∴t=5
点评：本题主要考查了一次函数的应用，相似三角形的性质以及二次函数等知识点的综合应用，弄清相关线段的大小和比例关系是解题的关键．
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