题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,6),B(b,0),且b<0,点CD分别是OAAB的中点,△AOB的外角平分线与CD的延长线交于点E.

(1)求证:∠DAO=∠DOA

(2)①若b=-8,求CE的长;

②若CE+1,则b=________.

(3)是否存在这样的b值,使得四边形OBED为平行四边形?若存在,请求出此时四边形OBED对角线的交点坐标;若不存在,请说明理由.

(4)直线AEx轴交于点F,请用含b的式子直接写出点F的坐标.

【答案】(1)见解析;(2) ①9, ②-2;(3)见解析;(4) F(b,0).

【解析】(1)由CD分别为AOAB的中点,得到CDOB.又由OBAO,得到CD垂直平分AO,由垂直平分线的性质即可得到结论.

(2)①由三角形中位线定理得到CD的长,由角平分线的定义和平行线的性质得到∠DEB=∠DBE,从而得到EDBD5,即可得到结论.

②由①得:EC=ED+DC=AB+BO,列方程求解即可得到结论.

(3)由四边形OBED是平行四边形,得OBED.由EDBDAB,得到AB=-2b,于是有(-b)262=(-2b)2,解方程得到b的值,进而得到AB的长.设平行四边形OBED的对角线交点为M,作MHOB于点H,则BMBDAB.由ODDBOB,得到∠DBO60°,∠BMH30°,从而可得到BHMH OH,即可得到结论.

(4) 由三角形中位线定理可得FO=2EC.由EC=,得到FO=,即可得到结论.

(1)∵CD分别为AOAB的中点,∴CDOB

又∵OBAO,∴CDAC,∴CD垂直平分AO,∴ADOD,∴∠DAO=∠DOA

(2)①∵b=-8,∴OB8,∴CDOB4.易得∠DEB=∠DBE,∴EDBDAB5,∴CECDED459

②由①得:EC=ED+DC=AB+BO,∴,解得:b=-2.故答案为:-2

(3)存在.理由如下:

如图,∵四边形OBED是平行四边形,∴OBED

EDBDAB,∴OBAB

OB=-b,∴AB=-2b,∴(-b)262=(-2b)2,解得:b,∴AB.设平行四边形OBED的对角线交点为M,作MHOB于点H,则BMBDAB×.∵ODAD,∴ODDBOB,∴∠DBO60°,∴∠BMH30°,∴BHMH,∴OH=,∴M).

(4) ECFOAC=CO,∴FO=2EC

EC=,∴FO=,∴F(0).

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