Question

13、如图所示，△DEF中，DE=DF，过EF上一点A作直线与DE交于点B，与DF的延长线交于点C，且BE=CF．
求证：AB=AC．
证明：过B作BG∥CD交EF于G，∴∠EGB=∠EFD．∵DE=DF，∴

∠E=∠DFE

．
∴

∠E=∠EGB，

．∴BE=BG．
∵BE=CF，∴BG=CF．
∵BG∥CD，∴∠GBA=∠FCA，∠AGB=∠AFC．
∴△AGB≌△AFC．∴AB=AC．
阅读后回答下列问题：
（1）试在上述过程中的横线上填写适当的步骤；
（2）还有别的辅助线作法吗？若有，试说出一种：

过C作CH∥DE，交EF的延长线于H．

；
（3）若DE=DF，AB=AC，则BE、CF之间有何关系？
（4）若AB=AC，BE=CF，DF=8cm，则DE的长为

8cm

；
（5）若AB=m•AC，DE=DF，CF=a，则BE的长为

am

．

Answer 1

分析：（1）由于DE=DF，利用等边对等角，可知∠E=∠EFD，再利用等量代换，可得∠E=∠EGB．
（2）过C作CH∥DE，交EF的延长线于H．
（3）BE=CF．过B作BG∥CD交EF于G，可先证△AGB≌△AFC，那么有BG=CF，再由BG∥CD，可得∠BGE=∠DFE，而BE=CF，故BE=BG，于是∠BGE=∠BEG，因此∠E=∠DFE，那么DE=DF．
（4）过B作BG∥CD交EF于G，先证△AGB≌△AFC，就有BG=CF，而BE=CF，所以BE=BG，可以知道∠E=∠BGE，再由BG∥CD，可得∠BGE=∠DFE，于是∠E=∠DFE，故DE=DF=8cm．
（5）过B作BG∥CD交EF于G，∠BGE=∠DFE，而DE=DF，可得∠E=∠DFE，那么就有∠E=∠BGE，于是BE=BG，再利用平行线分线段成比例定理的推论，可知△AGB∽△AFC，于是就有BG：CF=AB：AC，而BG=BE，那么BE：CF=AB：AC，就可求出BE．

解答：解：（1）∠E=∠EFD，∠E=∠FGB；
（2）过点B作BH∥EF交CD于H；
（3）BE=CF；
（4）8cm；
（5）过B作BG∥CD交EF于G，
∵∠BGE=∠DFE，DE=DF，
∴∠E=∠DFE，
∴∠E=∠BGE，
∴BE=BG，
又∵BG∥CF，
∴△AGB∽△AFC，
∴BG：CF=AB：AC，
∴BE：CF=AB：AC，
∴BE=ma．

点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；本题主要是作辅助线，以及利用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质．