题目内容
【题目】已知抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)与x轴相交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C.
(1)当A(﹣1,0),C(0,﹣3)时,求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)P(m,t)为抛物线上的一个动点.
①当点P关于原点的对称点P′落在直线BC上时,求m的值;
②当点P关于原点的对称点P′落在第一象限内,P′A2取得最小值时,求m的值及这个最小值.
【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3,顶点坐标为(1,﹣4);(2)①m=;②P′A2取得最小值时,m的值是,这个最小值是.
【解析】
(1)根据A(﹣1,0),C(0,﹣3)在抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)的图象上,可以求得b、c的值;
(2)①根据题意可以得到点P′的坐标,再根据函数解析式可以求得点B的坐标,进而求得直线BC的解析式,再根据点P′落在直线BC上,从而可以求得m的值;
②根据题意可以表示出P′A2,从而可以求得当P′A2取得最小值时,m的值及这个最小值.
(1)∵抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)与x轴相交于A,B两点,与y轴交于点C,A(﹣1,0),C(0,﹣3),∴,解得:,∴该抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3.
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴抛物线的顶点坐标为(1,﹣4);
(2)①由P(m,t)在抛物线上可得:t=m2﹣2m﹣3.
∵点P和P′关于原点对称,∴P′(﹣m,﹣t),当y=0时,0=x2﹣2x﹣3,解得:x1=﹣1,x2=3,由已知可得:点B(3,0).
∵点B(3,0),点C(0,﹣3),设直线BC对应的函数解析式为:y=kx+d,,解得:,∴直线BC的直线解析式为y=x﹣3.
∵点P′落在直线BC上,∴﹣t=﹣m﹣3,即t=m+3,∴m2﹣2m﹣3=m+3,解得:m=;
②由题意可知,点P′(﹣m,﹣t)在第一象限,∴﹣m>0,﹣t>0,∴m<0,t<0.
∵二次函数的最小值是﹣4,∴﹣4≤t<0.
∵点P(m,t)在抛物线上,∴t=m2﹣2m﹣3,∴t+3=m2﹣2m,过点P′作P′H⊥x轴,H为垂足,有H(﹣m,0).
又∵A(﹣1,0),则P′H2=t2,AH2=(﹣m+1)2.在Rt△P′AH中,P′A2=AH2+P′H2,∴P′A2=(﹣m+1)2+t2=m2﹣2m+1+t2=t2+t+4=(t+)2+,∴当t=﹣时,P′A2有最小值,此时P′A2=,∴=m2﹣2m﹣3,解得:m=.
∵m<0,∴m=,即P′A2取得最小值时,m的值是,这个最小值是.