题目内容

【题目】已知抛物线y=x2+bx+cbc是常数)与x轴相交于AB两点(AB的左侧),与y轴交于点C

1)当A(﹣10C03)时,求抛物线的解析式和顶点坐标;

2Pmt)为抛物线上的一个动点.

①当点P关于原点的对称点P落在直线BC上时,求m的值;

②当点P关于原点的对称点P落在第一象限内,PA2取得最小值时,求m的值及这个最小值.

【答案】1)抛物线的解析式为y=x22x3,顶点坐标为(1,﹣4);(2)①m=;②PA2取得最小值时,m的值是,这个最小值是

【解析】

1)根据A(﹣10),C0,﹣3)在抛物线y=x2+bx+cbc是常数)的图象上可以求得bc的值

2①根据题意可以得到点P的坐标再根据函数解析式可以求得点B的坐标进而求得直线BC的解析式再根据点P落在直线BC从而可以求得m的值

②根据题意可以表示出PA2从而可以求得当PA2取得最小值时m的值及这个最小值

1∵抛物线y=x2+bx+cbc是常数)与x轴相交于AB两点y轴交于点CA(﹣10),C0,﹣3),解得∴该抛物线的解析式为y=x22x3

y=x22x3=(x124∴抛物线的顶点坐标为(1,﹣4);

2①由Pmt)在抛物线上可得t=m22m3

∵点PP关于原点对称P′(﹣m,﹣t),y=00=x22x3解得x1=﹣1x2=3由已知可得B30).

∵点B30),C0,﹣3),设直线BC对应的函数解析式为y=kx+d解得∴直线BC的直线解析式为y=x3

∵点P落在直线BCt=﹣m3t=m+3m22m3=m+3解得m=

②由题意可知P′(﹣m,﹣t)在第一象限m0,﹣t0m0t0

∵二次函数的最小值是﹣44t0

∵点Pmt)在抛物线上t=m22m3t+3=m22m过点PPHxH为垂足H(﹣m0).

又∵A(﹣10),PH2=t2AH2=(﹣m+12.在RtPAHPA2=AH2+PH2PA2=(﹣m+12+t2=m22m+1+t2=t2+t+4=(t+2+∴当t=﹣PA2有最小值此时PA2==m22m3解得m=

m0m=PA2取得最小值时m的值是这个最小值是

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