Question

21、如图，以等腰三角形ABC的底边BC为直径的圆O分别交两腰于D、E，求证：（1）AD=AE；（2）若D是AB中点，则△ABC是等边三角形．

Answer 1

分析：（1）首先连接BE、CD，即可得△ABC是等腰三角形，又由BC是⊙O直径，易证得△BDC≌△CEB，即可证得AD=AE；
（2）若D是AB中点，由CD⊥AB，DE⊥AC，可证得△BCD≌△CDA，可得BC=CA，又由AB=AC，即可得△ABC是等边三角形．

解答：证明：（1）连接BE、CD，
∵三角形ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C，AB=AC，…（1分）
∵BC是⊙O直径，
∴∠BDC=∠CEB=Rt∠，…（2分）
∴△BDC≌△CEB，…（3分）
∴BD=CE，…（4分）
∴AD=AE；…（5分）

（2）若D是AB中点，
∵CD⊥AB，DE⊥AC，…（6分）
∴∠BCD=∠ACD，…（7分）
∴△BCD≌△CDA，…（8分）
∴BC=CA，…（9分）
而AB=AC，
∴△ABC是等边三角形．…（10分）

点评：此题考查了圆周角的性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．