Question

已知抛物线y1=x2+2(1-m)x+n经过点（-1，3m+

1

2

）．
（1）求n-m的值；
（2）若此抛物线的顶点为（p，q），用含m的式子分别表示p和q，并求q与p之间的函数关系式；
（3）若一次函数y2=-2mx-

1

8

，且对于任意的实数x，都有y₁≥2y₂，直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将点的坐标代入抛物线解析式中，整理后即可求出n-m的值；
（2）由（1）得到的n-m的值，用m表示出n，代入抛物线解析式，利用顶点坐标公式求出顶点坐标，表示出p与q，找出p与q的函数关系式即可；
（3）根据y₁≥2y₂列出不等式，整理后得到根的判别式小于等于0，即可求出m的范围．

解答：解：（1）∵抛物线y₁=x²+2（1-m）x+n经过点（-1，3m+

1

2

），
∴3m+

1

2

=（-1）²+2（1-m）×（-1）+n=1-2+2m+n，
则n-m=

3

2

；

（2）∵n-m=

3

2

，即n=m+

3

2

，
∴y₁=x²+2（1-m）x+m+

3

2

，
∴p=-

b

2a

=m-1，
将p=m-1代入得：q=-m²+3m+

1

2

，
∵m=p+1，
∴q=-（p+1）²+3（p+1）+

1

2

，
则q=-p²+p+

5

2

；

（3）∵y₁=x²+2（1-m）x+m+

3

2

，y₂=-2mx-

1

8

，
∴代入y₁≥2y₂，得：x²+2（1-m）x+m+

3

2

≥2（-2mx-

1

8

），
整理得：x²+2（1+m）x+m+

7

4

≥0，
由题意得到：△=4（1+m）²-4（m+

7

4

）=4m²+4m-3≤0，
即（2m-1）（2m+3）≤0，
解得：-

3

2

≤m≤

1

2

，
当m=0时，经检验不满足题意，
则m的范围为-

3

2

≤m≤

1

2

且m≠0．

点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的图象与性质，根的判别式，不等式的解法，顶点坐标公式，利用了消元及函数的思想，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．