Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b（k≠0）分别交双曲线y=

m

x

(m≠0)于A、B两点，交x轴于点D，在x轴上有一点C（3，0），且AD=5，CD=4，sin∠ADC=

4

5

，B（-3，n）．
（1）求该双曲线y=

m

x

与直线AB的解析式；
（2）连接BC，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）过A作AE⊥CD于E，设AE=a，则AD=5a=5，根据题意求出a的值，在Rt△ADE中，DE的长度，进而求出A点的坐标，m的值即可求出，由A点和D点坐标求出直线AB的解析式；
（2）首先求出B点坐标，根据S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD=

1

2

CD•AE+

1

2

CD•|y_B|求出面积的值．

解答：解：（1）过A作AE⊥CD于E，
∵在Rt△ADE中，sin∠ADC=

AE

AD

=

4

5

，
∴设AE=a，则AD=5a=5，
∴a=1，
∴AE=4a=4，
∴在Rt△ADE中，DE=

AD2-AE2

=3，
∵C（3，0），CD=4，
∴D（-1，0），
∴E（2，0），
∴A（2，4），
∵双曲线y=

m

x

过A（2，4），
∴

m

2

=4，
∴m=8，
∴y=

8

x

，
∵直线y=kx+b过A（2，4）、D（-1，0），
∴

2k+b=4 -k+b=0

，
解得

k= 4 3 b= 4 3

，
∴y=

4

3

x+

4

3

；

（2）∵双曲线y=

8

x

过B（-3，n），
∴n=-

8

3

，
∴B（-3，-

8

3

），
∴S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD=

1

2

CD•AE+

1

2

CD•|y_B|=

1

2

×4×4+

1

2

×4×

8

3

=

40

3

．

点评：本题主要考查反比例函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及一次函数解析式的求法，此题难度一般，是中考常考点．