题目内容
直线y=x+b与双曲线y=
(x<0)交于点A(-1,-5),并分别与x轴、y轴交于点C、B.
(1)直接写出b=
(2)根据图象直接写出不等式x+b<
的解集为
(3)连接OA,求∠OAB的正弦值.
(4)若点D在x轴的正半轴上,是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似?若存在,请求出D的坐标;若不存在,请说明理由.
m |
x |
(1)直接写出b=
-4
-4
,m=5
5
.(2)根据图象直接写出不等式x+b<
m |
x |
x<-1
x<-1
.(3)连接OA,求∠OAB的正弦值.
(4)若点D在x轴的正半轴上,是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似?若存在,请求出D的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)将A坐标代入直线方程,求出b的值,将A坐标代入双曲线解析式中,求出m的值即可;
(2)由双曲线与直线的交点A的横坐标,在图象上找出一次函数在反比例函数下方时x的范围即可;
(3)过O作OH⊥BC,对于直线y=x-4,分别令x与y等于0,求出B与C的坐标,得到OB=OC,且OC与OB垂直,得到三角形OBC为等腰直角三角形,利用勾股定理求出BC的长,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OH的长,再由A与O的坐标,求出AO的长,在直角三角形AOH中,利用锐角三角函数定义即可求出∠OAB的正弦值;
(4)由三角形BOC为等腰直角三角形,得到BH=OH,在直角三角形AOH中,由AO与OH的长,利用勾股定理求出AH的长,由AH-BH求出AB的长,可得出D在C的右侧,利用邻补角定义求出∠OBA=∠DCB=135°,根据对应边成比例分两种情况考虑,分别求出CD的长,由C的横坐标即OC的长求出OD的长,即可确定出满足题意D的坐标.
(2)由双曲线与直线的交点A的横坐标,在图象上找出一次函数在反比例函数下方时x的范围即可;
(3)过O作OH⊥BC,对于直线y=x-4,分别令x与y等于0,求出B与C的坐标,得到OB=OC,且OC与OB垂直,得到三角形OBC为等腰直角三角形,利用勾股定理求出BC的长,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OH的长,再由A与O的坐标,求出AO的长,在直角三角形AOH中,利用锐角三角函数定义即可求出∠OAB的正弦值;
(4)由三角形BOC为等腰直角三角形,得到BH=OH,在直角三角形AOH中,由AO与OH的长,利用勾股定理求出AH的长,由AH-BH求出AB的长,可得出D在C的右侧,利用邻补角定义求出∠OBA=∠DCB=135°,根据对应边成比例分两种情况考虑,分别求出CD的长,由C的横坐标即OC的长求出OD的长,即可确定出满足题意D的坐标.
解答:解:(1)将A(-1,-5)代入直线y=x+b中,得:-5=-1+b,即b=-4,
将A(-1,-5)代入双曲线解析式得:-5=
,即m=5;
(2)由图象可得:不等式x+b<
的解集为x<-1;
(3)过O作OH⊥BC,垂足为H,
对于直线y=x-4,令y=0求出x=4,即C(4,0),令x=0求出y=-4,即B(0,-4),
∴OB=OC=4,即△BOC为等腰直角三角形,
∴BC=
=4
,
∴OH=
BC=2
,
由点O(0,0),A(-1,-5),得:OA=
,
在Rt△OAH中,sin∠OAB=
=
;
(4)由(3)可知,△OBC为等腰直角三角形,OH=BH=2
,
在Rt△AOH中,根据勾股定理得:AH=
=
=3
,
∴AB=AH-BH=
,
∴当点D在C点右侧时,∠OBA=∠DCB=135°,
①当
=
,即
=
时,解得CD=2,
∵C(4,0),即OC=4,∴OD=OC+CD=2+4=6,
此时D坐标为(6,0);
②当
=
,即
=
时,解得CD=16,
∵C(4,0),即OC=4,∴OD=OC+CD=16+4=20,
此时D坐标为(20,0),
综上所述,若△BCD与△ABO相似,此时D坐标为(6,0)或(20,0).
故答案为:(1)-6;5;(2)x<-1
将A(-1,-5)代入双曲线解析式得:-5=
m |
-1 |
(2)由图象可得:不等式x+b<
m |
x |
(3)过O作OH⊥BC,垂足为H,
对于直线y=x-4,令y=0求出x=4,即C(4,0),令x=0求出y=-4,即B(0,-4),
∴OB=OC=4,即△BOC为等腰直角三角形,
∴BC=
OB2+OC2 |
2 |
∴OH=
1 |
2 |
2 |
由点O(0,0),A(-1,-5),得:OA=
26 |
在Rt△OAH中,sin∠OAB=
2
| ||
|
2
| ||
13 |
(4)由(3)可知,△OBC为等腰直角三角形,OH=BH=2
2 |
在Rt△AOH中,根据勾股定理得:AH=
AO2-OH2 |
26-8 |
2 |
∴AB=AH-BH=
2 |
∴当点D在C点右侧时,∠OBA=∠DCB=135°,
①当
CD |
CB |
BA |
BO |
CD | ||
4
|
| ||
4 |
∵C(4,0),即OC=4,∴OD=OC+CD=2+4=6,
此时D坐标为(6,0);
②当
CD |
CB |
BO |
BA |
CD | ||
4
|
4 | ||
|
∵C(4,0),即OC=4,∴OD=OC+CD=16+4=20,
此时D坐标为(20,0),
综上所述,若△BCD与△ABO相似,此时D坐标为(6,0)或(20,0).
故答案为:(1)-6;5;(2)x<-1
点评:此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有:等腰直角三角形的判定与性质,坐标与图形性质,勾股定理,待定系数法确定函数解析式,相似三角形的判定与性质,以及锐角三角函数定义,利用了数形结合的思想,是一道综合性较强的试题.
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