题目内容

【题目】如图,抛物线的对称轴为轴,且经过(0,0),()两点,点P在抛物线上运动,以P为圆心的⊙P经过定点A(0,2),

(1)求的值;

(2)求证:点P在运动过程中,⊙P始终与轴相交;

(3)设⊙P轴相交于MN ()两点,当△AMN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐标.

【答案】(1a=b=c=0;(2)证明见解析;(3P的纵坐标为04+24﹣2

【解析】试题分析:(1)根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出abc的值即可;

2)设Pxy),表示出P的半径r,进而与x2比较得出答案即可;

3)分别表示出AMAN的长,进而分别利用当AM=AN时,当AM=MN时,当AN=MN时,求出a的值,进而得出圆心P的纵坐标即可.

试题解析:(1抛物线y=ax2+bx+cabc是常数,a≠0)的对称轴为y轴,且经过(00)和()两点,

抛物线的一般式为:y=ax2

=a2

解得:a=±

图象开口向上,a=

抛物线解析式为:y=x2

a=b=c=0

2)设Pxy),⊙P的半径r=

y=x2,则r=

化简得:r=x2

P在运动过程中,⊙P始终与x轴相交;

3)设Paa2),PA=

PHMNH,则PM=PN=

PH=a2

MH=NH==2

MN=4

∴Ma﹣20),Na+20),

A02),AM=AN=

AM=AN时, =

解得:a=0

AM=MN时, =4

解得:a=2±2(负数舍去),则a2=4+2

AN=MN时, =4

解得:a=﹣2±2(负数舍去),则a2=4﹣2

综上所述,P的纵坐标为04+24﹣2

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