题目内容
【题目】如图,抛物线的对称轴为轴,且经过(0,0),()两点,点P在抛物线上运动,以P为圆心的⊙P经过定点A(0,2),
(1)求的值;
(2)求证:点P在运动过程中,⊙P始终与轴相交;
(3)设⊙P与轴相交于M,N (<)两点,当△AMN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐标.
【答案】(1)a=,b=c=0;(2)证明见解析;(3)P的纵坐标为0或4+2或4﹣2.
【解析】试题分析:(1)根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a,b,c的值即可;
(2)设P(x,y),表示出⊙P的半径r,进而与x2比较得出答案即可;
(3)分别表示出AM,AN的长,进而分别利用当AM=AN时,当AM=MN时,当AN=MN时,求出a的值,进而得出圆心P的纵坐标即可.
试题解析:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的对称轴为y轴,且经过(0,0)和(, )两点,
∴抛物线的一般式为:y=ax2,
∴=a()2,
解得:a=±,
∵图象开口向上,∴a=,
∴抛物线解析式为:y=x2,
故a=,b=c=0;
(2)设P(x,y),⊙P的半径r=,
又∵y=x2,则r=,
化简得:r=>x2,
∴点P在运动过程中,⊙P始终与x轴相交;
(3)设P(a, a2),∵PA=,
作PH⊥MN于H,则PM=PN=,
又∵PH=a2,
则MH=NH==2,
故MN=4,
∴M(a﹣2,0),N(a+2,0),
又∵A(0,2),∴AM=,AN=,
当AM=AN时, =,
解得:a=0,
当AM=MN时, =4,
解得:a=2±2(负数舍去),则a2=4+2;
当AN=MN时, =4,
解得:a=﹣2±2(负数舍去),则a2=4﹣2;
综上所述,P的纵坐标为0或4+2或4﹣2.
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