Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF.

（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由.

Answer 1

（1）详见解析；（2）EG垂直平分DF.

试题分析：（1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；
（2）∠GDF=∠ADE，以及（1）得出的∠ADE=∠BFE，等量代换得到∠GDF=∠BFE，利用等角对等边得到GF=GD，即三角形GDF为等腰三角形，再由（1）得到DE=FE，即GE为底边上的中线，利用三线合一即可得到GE与DF垂直．
试题解析：（1）E是AB的中点，AE=BE
∵AD∥BC
∴∠ADF=∠F
在△ADE与△BFE中
∠ADF=∠F，∠AED=∠BEF，AE=BE
∴△ADE≌△BFE（AAS）；
（2）∵△ADE≌△BFE
∴DE=EF
∵AD∥BC，∠ADF=∠F，∠GDF＝∠ADF
∴∠F=∠GDF
∴GF=GD
∴△GFD为等腰三角形
∵DE=EF
∴EG垂直平分DF.