题目内容
【题目】在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B.
(1)在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(2)当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于点E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度,猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(3)当三角尺在(2)的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,若AG:AB=5:13,BC=4,求DE+DF的值.
【答案】(1)BF=CG,理由详见解析;(2)DF+DE=CG,理由详见解析;(3)8.
【解析】【试题分析】(1)如图1,BF和CG可看成△ABC的高,根据S△ABC=ACBF=
ABCG,AB=AC,即可解决问题;
(2)连接AD,如图2.由于DF⊥AC,DE⊥AB,CG⊥AB,因此DF、DE、CG可分别看成△ACD、△ABD、△ABC的高,再根据S△ACD+S△ABD=S△ABC,AB=AC,即可解决问题;
(3)连接AD,如图3.,同(2)可得:DF+DE=CG.设AG=5x,根据条件可得AC=AB=13x,运用勾股定理可得GC=12x,然后在Rt△BGC中运用勾股定理即可求出x的值,从而解决问题.
【试题解析】
(1)猜想:BF=CG.
理由:如图1.
∵BF⊥AC,CG⊥AB,
∴S△ABC=ACBF=
ABCG.
∵AB=AC,
∴BF=CG;
(2)猜想:DE+DF=CG.
理由:连接AD,如图2.
∵DF⊥AC,DE⊥AB,CG⊥AB,
∴S△ACD=ACDF,S△ABD=
ABDE,S△ABC=
ABCG.
∵S△ACD+S△ABD=S△ABC,
∴ACDF+
ABDE=
ABCG.
∵AB=AC,
∴DF+DE=CG;
(3)连接AD,如图3.
同(2)可得:DF+DE=CG.
设AG=5x,
∵AG:AB=5:13,AB=AC,
∴AC=AB=13x.
∴∠G=90°,
∴GC==12x.
在Rt△BGC中,
∵BG=AB+AG=13x+5x=18x,GC=12x,BC=4,
∴(18x)2+(12x)2=(4)2,
解得:x=,
∴DE+DF=CG=12x=8.

【题目】下表中有两种移动电话计费方式.
月使用费 | 主叫限定时间 | 主叫超时费 | 被叫 | |
方式一 | 49 | 100 | 免费 | |
方式二 | 69 | 150 | 免费 |
设一个月内主叫通话为t分钟是正整数
.
当
时,按方式一计费为______元;按方式二计费为______元;
当
时,是否存在某一时间t,使两种计费方式相等,若存在,请求出对应t的值,若不存在,请说明理由;
当
时,请直接写出省钱的计费方式?