题目内容

【题目】ABC中,AB=ACCGBABA的延长线于点G一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B

1)在图1中请你通过观察、测量BFCG的长度,猜想并写出BFCG满足的数量关系,然后证明你的猜想;

2)当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点DDEBA于点E.此时请你通过观察、测量DEDFCG的长度,猜想并写出DE+DFCG之间满足的数量关系,然后证明你的猜想;

3)当三角尺在(2)的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,若AGAB=513BC=4,求DE+DF的值.

【答案】(1)BF=CG,理由详见解析;(2DF+DE=CG,理由详见解析;(38

【解析】【试题分析】(1)如图1,BFCG可看成ABC的高,根据SABC=ACBF=ABCGAB=AC,即可解决问题;

(2)连接AD,如图2.由于DFACDEABCGAB,因此DFDECG可分别看成ACDABDABC的高,再根据SACD+SABD=SABCAB=AC,即可解决问题;

(3)连接AD,如图3.,同(2)可得:DF+DE=CG.设AG=5x,根据条件可得AC=AB=13x,运用勾股定理可得GC=12x,然后在RtBGC中运用勾股定理即可求出x的值,从而解决问题.

【试题解析】

1)猜想:BF=CG

理由:如图1

BFACCGAB

SABC=ACBF=ABCG

AB=AC

BF=CG

2)猜想:DE+DF=CG

理由:连接AD,如图2

DFACDEABCGAB

SACD=ACDFSABD=ABDESABC=ABCG

SACD+SABD=SABC

ACDF+ABDE=ABCG

AB=AC

DF+DE=CG

3)连接AD,如图3

同(2)可得:DF+DE=CG

AG=5x

AGAB=513AB=AC

AC=AB=13x

∴∠G=90°

GC==12x

RtBGC中,

BG=AB+AG=13x+5x=18xGC=12xBC=4

18x2+12x2=42

解得:x=

DE+DF=CG=12x=8

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