题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．
（1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ）、C（ ）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于点M．
①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；
②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
，
，抛物线解析式为
；
（2）①当
时，△OCE∽△OBC；②抛物线对称轴上存在点P
或
或
或
，使△PEM是等腰三角形．
【解析】
（1）利用解直角三角形求出OC的长度，再求出OB的长度，从而可得点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）①根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度，再根据点A的坐标求出AO的长度，相加即可得到AE的长度，即x的值；
②根据①确定点E在对称轴上，然后求出∠FEB=60°，根据同位角相等两直线平行求出EF//AC，再求出直线EF的解析式，与抛物线解析式联立求出点M的坐标，再利用两点间的距离公式求出EM的长度，再分PE=EM，PE=PM，PM=EM三种情况分别求解．
（1）∵点
∴
由图可知，∠BAC是三角板的60°角，∠ABC是30°角
∴
，
∴点，点
设抛物线解析式为
解得
∴抛物线解析式为
（2）①∵△OCE∽△OBC
∴
即
解得
∴
即
时，△OCE∽△OBC
②存在，理由如下：
抛物线的对称轴为
∴点E为抛物线的对称轴与x轴的交点
∵
，
轴，
∴△ACE是等边三角形
∴
∵
∴
∴
∴
由
可得直线AC的解析式为
∵点E
∴直线EF的解析式为
联立
解得
，
∴点M的坐标为
或
（舍去）
分三种情况讨论△PEM是等腰三角形
1）当
时，
∴点P的坐标为或
2）当
时，
∵
∴
∴点P的坐标为
3）当
时，
∴点P的坐标为
综上所述，抛物线对称轴上存在点P或或或，使△PEM是等腰三角形．
