题目内容
【题目】(2016广东省深圳市第23题)如图,抛物线与轴交于A、B两点,且B(1 , 0)。
(1)、求抛物线的解析式和点A的坐标;
(2)、如图1,点P是直线上的动点,当直线平分∠APB时,求点P的坐标;
(3)如图2,已知直线 分别与轴 轴 交于C、F两点。点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点,过点Q作 轴的平行线,交直线CF于点D,点E在线段CD的延长线上,连接QE。问以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值;若不存在,请说明理由。
【答案】(1)、y=x+2x-3 ,A(-3,0);(2)、(,);(3)、△QDE的面积最大值为.
【解析】
试题分析:(1)、把点B的坐标代入解析式得出函数解析式和点A的坐标;(2)、若y=x平分∠APB,则∠APO=∠BPO,若P点在x轴上方,PA与y轴交于点,从而得出△≌△OPB,从而得出点P的坐标;当点P在x轴下方时,不成立;(3)、作QH⊥CF,根据直线CF的解析式得出点C和点F的坐标,求出tan∠OFC的值,△QDE是以DQ为腰的等腰三角形,根据DQ=DE得出函数解析式,则当DQ=QE时则△DEQ的面积比DQ=DE时大,然后设点Q的坐标,求出函数解析式得出最大值.
试题解析:(1)、把B(1,0)代入y=ax+2x-3 得a+2-3=0,解得a=1
∴y=x+2x-3 ,A(-3,0)
(2)、若y=x平分∠APB,则∠APO=∠BPO
如答图1,若P点在x轴上方,PA与y轴交于点 ∵∠POB=∠PO=45°,∠APO=∠BPO,PO=PO
∴△≌△OPB ∴=1, ∴PA: y=3x+1 ∴
若P点在x轴下方时, 综上所述,点P的坐标为
(3)、如图2,作QH⊥CF, CF:y=,C(,0),F(0,) tan∠OFC=
DQ∥y轴 ∠QDH=∠MFD=∠OFC tan∠HDQ=
不妨记DQ=1,则DH=,HQ= △QDE是以DQ为腰的等腰三角形
若DQ=DE,则
若DQ=QE,则
< 当DQ=QE时则△DEQ的面积比DQ=DE时大
设Q 当DQ=t=
以QD为腰的等腰△QDE的面积最大值为