Question

若等式(x＋1)(x－m)(x－n)＝x(x＋2)·(x＋p)－5对任意的x均成立，其中m、n、p为常数，求mn－p的值．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(x＋1)(x－m)(x－n) 　　＝(x2－mx＋x－m)(x－n) 　　＝x3－mx2＋x2－mx－nx2＋mnx－nx＋mn 　　＝x3＋(1－m－n)x2＋(mn－m－n)x＋mn 　　而x(x＋2)(x＋p)－5 　　＝(x2＋2x)(x＋p)－5 　　＝x3＋2x2＋px2＋2px－5＝x3＋(2＋p)x2＋2px－5 　　∵(x＋1)(x－m)(x－n)＝x(x＋2)(x＋p)－5，对任意x均成立． 　　∴ 　　③代入②得5＋m＋n＝－2p　　　　④ 　　①＋④得p＝－4 　　∴mn－p＝－5＋4＝－1 　　解法二：∵(x＋1)(x－m)(x－n)＝x(x＋2)(x＋p)－5对任意x均成立． 　　∴令x＝0代入得mn＝－5 　　令x＝－1代入得0＝－1(p－1)－5 　　∴p＝－4，∴mn－p＝－5＋4＝－1 　　说明：anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝0若对任意x都成立，即不论x取何值它都等于零，当且仅当an＝an－1＝…＝a1＝a0＝0，这就是多项式恒等定理；采用观察赋值法求值，简化了解题过程，优化了你的思维，是以后学习中常采用的方法．

提示：

提示：对于任意的x等式(x＋1)(x－m)(x－n)＝x(x＋2)(x＋p)－5都成立．所以可通过左、右两边展开，然后比较对应项的系数而求解．也可以根据要求式的特征有选择地取x的一些值代入，要求mn，观察等式特点令x＝0代入得mn＝－5；而要求p可令x＝－1代入得0＝－1×(－1＋p)－5可得p＝－4，从而求解．