题目内容

(2012•武汉模拟)如图,AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,且AB∥CD.OB与EF相交于点M,OC与FG相交于点N,连接MN.
(1)求证:OB⊥OC;
(2)若OB=6,OC=8,求MN的长.
分析:(1)要证明利OB⊥OC,即转化为证明∠BOC=90°,即可,利用切线长定理和平行线的性质:同旁内角互补即可证明;
(2)连接OF,首先证明四边形ONFM是矩形,利用矩形的对角线相等可得:OF=MN,所以求MN的长,即求出OF的长即可.
解答:(1)证明:∵BA,BC为⊙O的切线,
∴BO平分∠ABC,
同理CO平分∠BCD,
∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴∠OBC+∠BCO=90°,
∴∠BOC=90°,
即OB⊥OC;

(2)连接OF,
∵BA,BC为⊙O的切线,
∴BE=BF,BO平分∠ABC,
∴BM⊥EF,
即∠OMF=90°,
同理:∠ONF=90°,
∴四边形ONFM是矩形,
∴MN=OF,
在Rt△OBC中,OB=6,OC=8,BC2=OB2+OC2
∴BC=10,
∵BC切圆于点F,
∴OF⊥BC,
∴△OFC∽△BOC,
OF
BO
=
OC
BC

∴OF=4.8,
∴MN=4.8.
点评:本题考查了切线长定理、平行线的性质以及矩形的判定和性质、勾股定理的运用和相似三角形的判定和性质,难度较大,综合性较强.
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