题目内容
【题目】
是一张等腰直角三角形纸板， 
， 
．
（
）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图
），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由．
（
）图
中甲种剪法称为第
次剪取，记所得正方形面积为
；按照甲种剪法，在余下的
和
中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第
次剪取，并记这两个正方形面积和为
（如图
），则
__________；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第
次剪取，并记这四个正方形面积和为
，继续操作下去，则第
次剪取时， 
__________．
（
）求第
次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和__________．
【答案】（
）甲种剪法所得的正方形面积更大，理由见解析；（
）
， 
；（
）
．
【解析】试题分析：（1）分别求出甲、乙两种剪法所得的正方形面积，进行比较即可；
（2）按图1中甲种剪法，可知后一个三角形的面积是前一个三角形的面积的
，依此可知结果；
（3）探索规律可知： 
，依此规律可得第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．
试题解析：（
）如图甲，由题意得
，即
，
如图乙，设
，则由题意得
，
则
， 
，
又∵
，即
，
∴甲种剪法所得的正方形面积更大．
（
）
， 
， 
（
）由题意可知，
第一次剪取后剩余三角形面积和为
，
第二次剪取后剩余三角形面积和为
，
第三次剪取后剩余三角形面积和为
，
，
第十次剪取后剩余三角形面积和为
．
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