题目内容
如图,在△AOB中,OA=OB=8,∠AOB=90°,矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边AO、OB、AB上.(1)若C、D恰好是边AO,OB的中点,求矩形CDEF的面积;
(2)若tan∠CDO=
4 | 3 |
分析:(1)因为当C、D是边AO,OB的中点时,点E、F都在边AB上,且CF⊥AB,所以可求出CD的值,进而求出CF的值,矩形CDEF的面积可求出;
(2)设CD=x,CF=y.过F作FH⊥AO于H.在 Rt△COD中,用含x和y的代数式分别表示出CO、AH的长,进而表示出矩形CDEF的面积,再配方可求出面积的最大值.
(2)设CD=x,CF=y.过F作FH⊥AO于H.在 Rt△COD中,用含x和y的代数式分别表示出CO、AH的长,进而表示出矩形CDEF的面积,再配方可求出面积的最大值.
解答:解:(1)如图,当C、D是边AO,OB的中点时,
点E、F都在边AB上,且CF⊥AB.
∵OA=OB=8,
∴OC=AC=OD=4.
∵∠AOB=90°,
∴CD=4
.
在 Rt△ACF中,
∵∠A=45°,
∴CF=2
.
∴S矩形CDEF=4
×2
=16.
(2)设CD=x,CF=y.过F作FH⊥AO于H.在 Rt△COD中,
∵tan∠CDO=
,
∴sin∠CDO=
,cos∠CDO=
.
∴CO=
x.
∵∠FCH+∠OCD=90°,
∴∠FCH=∠CDO.
∴HC=y•cos∠FCH=
y.
∴FH=
=
y.
∵△AHF是等腰直角三角形,
∴AH=FH=
y.
∴AO=AH+HC+CO.
∴
+
=8.
∴y=
(40-4x).
易知S矩形CDEF=xy=
(40x-4x2)=-
[(x-5)2-25],
∴当x=5时,矩形CDEF面积的最大值为
.
点E、F都在边AB上,且CF⊥AB.
∵OA=OB=8,
∴OC=AC=OD=4.
∵∠AOB=90°,
∴CD=4
2 |
在 Rt△ACF中,
∵∠A=45°,
∴CF=2
2 |
∴S矩形CDEF=4
2 |
2 |
(2)设CD=x,CF=y.过F作FH⊥AO于H.在 Rt△COD中,
∵tan∠CDO=
4 |
3 |
∴sin∠CDO=
4 |
5 |
3 |
5 |
∴CO=
4 |
5 |
∵∠FCH+∠OCD=90°,
∴∠FCH=∠CDO.
∴HC=y•cos∠FCH=
3 |
5 |
∴FH=
CF2-CH2 |
4 |
5 |
∵△AHF是等腰直角三角形,
∴AH=FH=
4 |
5 |
∴AO=AH+HC+CO.
∴
7y |
5 |
4x |
5 |
∴y=
1 |
7 |
易知S矩形CDEF=xy=
1 |
7 |
4 |
7 |
∴当x=5时,矩形CDEF面积的最大值为
100 |
7 |
点评:本题考查了二次函数与几何知识(矩形)的综合应用和求二次函数的最值,将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题,善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,并注意挖掘题目中的一些隐含条件.
练习册系列答案
相关题目