题目内容
【题目】如图1,在直角坐标系中,O是坐标原点,点A在y轴正半轴上,二次函数y=ax2+ x+c的图象F交x轴于B、C两点,交y轴于M点,其中B(﹣3,0),M(0,﹣1).已知AM=BC.
(1)求二次函数的解析式;
(2)证明:在抛物线F上存在点D,使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形,并请求出直线BD的解析式;
(3)在(2)的条件下,设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点,AC、BD相交于N.
①若直线l⊥BD,如图1,试求 的值;
②若l为满足条件的任意直线.如图2.①中的结论还成立吗?若成立,证明你的猜想;若不成立,请举出反例.
【答案】
(1)
解:∵二次函数y=ax2+ x+c的图象经过点B(﹣3,0),M(0,﹣1),
∴ ,
解得a= ,c=﹣1.
∴二次函数的解析式为:y= x2+
x﹣1
(2)
解:由二次函数的解析式为:y= x2+
x﹣1,
令y=0,得 x2+
x﹣1=0,
解得x1=﹣3,x2=2,∴C(2,0),∴BC=5;
令x=0,得y=﹣1,∴M(0,﹣1),OM=1.
又AM=BC,∴OA=AM﹣OM=4,∴A(0,4).
设AD∥x轴,交抛物线于点D,如图1所示,
则yD= x2+
x﹣1=OA=4,
解得x1=5,x2=﹣6(位于第二象限,舍去)
∴D点坐标为(5,4).
∴AD=BC=5,
又∵AD∥BC,
∴四边形ABCD为平行四边形.
即在抛物线F上存在点D,使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形.
设直线BD解析式为:y=kx+b,∵B(﹣3,0),D(5,4),
∴ ,
解得:k= ,b=
,
∴直线BD解析式为:y= x+
(3)
解:在Rt△AOB中,AB= =5,又AD=BC=5,∴ABCD是菱形.
①若直线l⊥BD,如图1所示.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴AC∥直线l,
∴ ,
∵BA=BC=5,
∴BP=BQ=10,
∴ =
=
;
②若l为满足条件的任意直线,如图2所示,此时①中的结论依然成立,理由如下:
∵AD∥BC,CD∥AB,
∴△PAD∽△DCQ,
∴ ,
∴
=
=
=
=
=
= .
【解析】(1)利用待定系数法求出二次函数的解析式;(2)首先求出D点的坐标,可得AD=BC且AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边形;再根据B、D点的坐标,利用待定系数法求出直线BD的解析式;(3)本问的关键是判定平行四边形ABCD是菱形.①推出AC∥直线l,从而根据平行线间的比例线段关系,求出BP、CQ的长度,计算出 =
;②判定△PAD∽△DCQ,得到APCQ=25,利用这个关系式对
进行分式的化简求值,结论为
=
不变.
【考点精析】通过灵活运用平行四边形的判定与性质,掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,并且这两条直线二等分此平行四边形的面积即可以解答此题.
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