题目内容
如图1，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，若AC=mBC，
CE=kEA，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论．说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）或（2）中的条件，选（1）中的条件完成解答满分为7分；选（2）中的条件完成解答满分为5分．
（1）m=1（如图2）
（2）m=1，k=1（如图3）
分析：过点E作EM⊥AB，EN⊥CD，根据CD⊥AB和EF⊥BE先证明△EFM与△EGN相似，得到EF：EG=EM：EN，再根据平行线分线段成比例定理求出EM：CG=AE：AC，EN：AD=CE：AC，结合CE=kEA即可用CD、AD表示出EM与EN，再利用∠A的正切值即可求出．
解答：
解：过E作EM⊥AB，EN⊥CD，
∵CD⊥AB，∴EM∥CD，EN∥AB，
∵EF⊥BE，∴∠EFM+∠EBF=90°，
∵∠EBF+∠DGB=90°，∠DGB=∠EGN（对顶角相等）
∴∠EFM=∠EGN，
∴△EFM∽△EGN，
∴
=
，
在△ADC中，
∵EM∥CD，
∴
=
，
又CE=kEA，
∴AC=（k+1）AE
∴CD=（k+1）EM，
同理
=
，
∴AD=
EN，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=mBC
tanA=
=
=
，
即
=
，
∴
=
，
∴EF=
EG．
解：过E作EM⊥AB，EN⊥CD，∵CD⊥AB，∴EM∥CD，EN∥AB，
∵EF⊥BE，∴∠EFM+∠EBF=90°，
∵∠EBF+∠DGB=90°，∠DGB=∠EGN（对顶角相等）
∴∠EFM=∠EGN，
∴△EFM∽△EGN，
∴
| EF |
| EG |
| EM |
| EN |
在△ADC中，
∵EM∥CD，
∴
| EM |
| CD |
| AE |
| AC |
又CE=kEA，
∴AC=（k+1）AE
∴CD=（k+1）EM，
同理
| EN |
| AD |
| CE |
| AC |
∴AD=
| k+1 |
| k |
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=mBC
tanA=
| CD |
| AD |
| BC |
| AC |
| 1 |
| m |
即
| (k+1)EM | ||
|
| 1 |
| m |
∴
| EM |
| EN |
| 1 |
| km |
∴EF=
| 1 |
| km |
点评：本题难度较大，主要利用相似三角形对应边成比例求解，正确作出辅助线是解本题的关键，这就要求同学们在平时的学习中不断积累经验，开拓视野．
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38、填空并完成以下证明：
将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放，∠ACB与∠DCE完全重合，∠C=90°，∠A=45°，∠EDC=60°，AB=4
如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．
已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．求证：
如图，∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF=∠F．试说明：EC∥DF．