Question

设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程x²+2（m-2）x+m²-3m+3=0的两个不相等的实数根x₁，x₂．求：若x₁²+x₂²=6，求m的值．

Answer 1

分析：根据一元二次方程的根的判别式△=b²-4ac＞0和已知条件“m是不小于-1的实数”求得m的取值范围-1≤m＜1；然后利用韦达定理求得x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=6，即2m²-10m+4=0，再利用求根公式求得m的值．

解答：解：∵关于x的方程x²+2（m-2）x+m²-3m+3=0的两个不相等的实数根，
∴△=4（m-2）²-4（m²-3m+3）＞0，x₁+x₂=-2（m-2），x₁x₂=m²-3m+3，
整理得：-m+1＞0，
解得：m＜1；
又∵m是不小于-1的实数，
∴-1≤m＜1；
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=6，
∴4（m-2）²-2（m²-3m+3）=6，即2m²-10m+4=0，
解得m₁=

5+ 17

2

（不合题意，舍去），m₂=

5- 17

2

．

点评：本题考查了根与系数的关系、根的判别式．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．