Question

设m是不小于-1的实数，关于x的方程x²+2（m-2）x+m²-3m+3=0有两个不相等的实数根x₁、x₂，
（1）若x₁²+x₂²=6，求m值；
（2）求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值．
（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．
解答：解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=4（m-2）²-4（m²-3m+3）=-4m+4＞0，
∴m＜1，
结合题意知：-1≤m＜1．
（1）∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4（m-2）²-2（m²-3m+3）=2m²-10m+10=6
∴，
∵-1≤m＜1，
∴；

（2）=
=（-1≤m＜1）．
∴当m=-1时，式子取最大值为10．
点评：本题的计算量比较大，需要很细心的求解．用到一元二次方程的根的判别式△=b²-4ac来求出m的取值范围；利用根与系数的关系x₁+x₂=，x₁x₂=来化简代数式的值．