Question

设直线l₁和直线l₂相交，交点为O，其夹角为α．如果线段AB关于l₁的轴对称图形是A′B′，而A′B′关于l₂的轴对称图形是A″B″．试问AB和A″B″间有什么关系？（见图）

Answer 1

解：因为已知AB关于l₁的对称图形是A′B′，A′B′关于l₂的对称图形是A″B″，
所以AB=A′B′，A′B′=A″B″，
所以AB=A″B″，①
由于∠AOP=∠A′OP，∠A′OP′=∠A″OP′，
所以∠AOA″=2∠POP′=2α．
同理∠BOB″=2∠POP′=2α，
所以∠AOA″=∠BOB″=2α．②
由①，②可知：在平面上，如果两条直线相交，一个图形以这两条直线为对称轴，连续作两次对称移动，那么相当于这个图形以这两条直线的交点为旋转中心，以这两条直线的交角的2倍为旋转角，作了一个旋转移动，在旋转移动下，图形的大小不变．
分析：因为AB关于l₁的对称图形是A′B′，A′B′关于l₂的对称图形是A″B″，所以AB=A′B′，A′B′=A″B″，所以AB=A″B″．
点评：本题考查了在平面上，如果两条直线相交，一个图形以这两条直线为对称轴，连续作两次对称移动，那么相当于这个图形以这两条直线的交点为旋转中心，以这两条直线的交角的2倍为旋转角，作了一个旋转移动，在旋转移动下，图形的大小不变这一性质．