Question

已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P．
（1）如图1，当OA=OB，且

AD

AO

=

1

2

时，求

AP

PC

的值；
（2）如图2，当OA=OB，且

AD

AO

=

1

4

时，①

AP

PC

=

2

3

；②证明：∠BPC=∠A；
（3）如图3，当AD：AO：OB=1：n：2

n

时，直接写出tan∠BPC的值．

Answer 1

分析：（1）过C作CE∥BD交AO于点E，则CE为△OBD的中位线，得到DE=OE，由PD∥CE，根据平行线分线段成比例定理得

AP

PC

=

AD

DE

，又

AD

AO

=

1

2

得AD=DO，则有AD=2DE，即可得到

AP

PC

=2；
（2）①与（1）不同的是

AD

AO

=

1

4

则DO=3AD，得2DE=3AD即AD=

2

3

DE，则

AP

PC

=

2

3

；②设OB=8a，则OA=OB=8a，OC=4a，AD=2a，DE=OE=3a，根据勾股定理得到CE=

(4a)2+(3a)2

=5a，则有EC=EA，得到∠ACE=∠A，而∠BPC=∠ACE，即可得到结论；
（3）过D作DF⊥AC，垂足为F，过C作CE∥BD交AO于点E，设AD=a，则AO=na，OB=2a

n

，由点C为OB中点，则CO=a

n

，利用勾股定理可计算得AC=

n2+n

a，易证得Rt△ADF∽Rt△ACO，得到AF：AO=DF：OC=AD：AC，即AF：na=DF：

n

a=a：

n2+n

a，求出AF=

n

n+1

a，DF=

a

n+1

，再根据平行线分线段成比例定理得到AP：AC=AD：AE，即AP：

n2+n

a=a：

n+1

2

a，求出AP=

2 a n

n+1

，则PF=AP-AF=

n

n+1

a，然后根据正切的定义即可得到tan∠FPD，从而得到tan∠BPC的值．

解答：解：（1）过C作CE∥BD交AO于点E，如图，
∵点C为OB中点，
∴CE为△OBD的中位线，
∴DE=OE，
∵PD∥CE，
∴

AP

PC

=

AD

DE

，
又∵

AD

AO

=

1

2

，
∴AD=DO，
∴AD=2DE，
∴

AP

PC

=2；
（2）①过C作CE∥BD交AO于点E，如图，
∵点C为OB中点，
∴CE为△OBD的中位线，
∴DE=OE，
∵PD∥CE，
∴

AP

PC

=

AD

DE

，
又∵

AD

AO

=

1

4

，
∴DO=3AD，
∴2DE=3AD，
∴AD=

2

3

DE，
∴

AP

PC

=

2

3

；
②设OB=8a，
∴OA=OB=8a，OC=4a，
AD=2a，DE=OE=3a，
而OA⊥OB，
∴∠COE=90°，
在Rt△OCE中，OC=4a，OE=3a，则CE=

(4a)2+(3a)2

=5a，
∴EC=EA，
∴∠ACE=∠A，
而CE∥BD，
∴∠BPC=∠ACE，
∴∠BPC=∠A；
故答案为

2

3

；
（3）过D作DF⊥AC，垂足为F，过C作CE∥BD交AO于点E，如图，
设AD=a，则AO=na，OB=2a

n

，
∵点C为OB中点，
∴CO=a

n

，
在Rt△ACO中，AC=

AO2+CO2

=

n2+n

a，
又∵Rt△ADF∽Rt△ACO，
∴AF：AO=DF：OC=AD：AC，即AF：na=DF：

n

a=a：

n2+n

a，
∴AF=

n

n+1

a，DF=

a

n+1

，
又∵PD∥CE，
∴AP：AC=AD：AE，即AP：

n2+n

a=a：

n+1

2

a，
∴AP=

2 a n

n+1

，
∴PF=AP-AF=

n

n+1

a，
∴tan∠FPD=

FD

PF

=

1

n

=

n

n

．
∴tan∠BPC=

n

n

．

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理：如果一组平行线被两条直线所截，那么所截得的线段对应成比例．也考查了三角形中位线的性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义．