题目内容
已知:线段OA⊥OB,点C为OB中点,D为线段OA上一点.连接AC,BD交于点P.(1)如图1,当OA=OB,且D为OA中点时,求
AP |
PC |
(2)如图2,当OA=OB,且
AD |
AO |
1 |
4 |
(3)如图3,当AD:AO:OB=1:n:2
n |
分析:(1)过D作BO的平行线,根据平行线分线段成比例定理,在△ACO中ED:CO=AD:AO,在△PDE和△PCB中,ED:BC=PE:PC,再根据C是BO的中点,可以求出PE:PC=1:2,再根据三角形中位线定理,点E是AC的中点,利用比例变形即可求出AP与PC的比值等于2;
(2)同(1)的方法,先求出PC=
AC,再过D作DF⊥AC于F,设AD为a,利用勾股定理求出AC等于2
a,再利用相似三角形对应边成比例求出DF、AF的值,而PF=AC-AF-PC,也可求出,又∠BPC与∠FPD是对顶角,所以其正切值便可求出.
(3)根据(2)的方法,把相应数据进行代换即可求出.
(2)同(1)的方法,先求出PC=
3 |
5 |
5 |
(3)根据(2)的方法,把相应数据进行代换即可求出.
解答:
解:(1)过D作DE∥CO交AC于E,
∵D为OA中点,
∴AE=CE=
AC,
=
,
∵点C为OB中点,
∴BC=CO,
=
,
∴
=
=
,
∴PC=
CE=
AC,
∴
=
=
=2;
(2)过点D作DE∥BO交AC于E,
∵
=
,
∴
=
=
,
∵点C为OB中点,
∴
=
,
∴
=
=
,
∴PC=
CE=
AC,
过D作DF⊥AC,垂足为F,设AD=a,则AO=4a,
∵OA=OB,点C为OB中点,
∴CO=2a,
在Rt△ACO中,AC=
=
=2
a,
又∵Rt△ADF∽Rt△ACO,
∴
=
=
=
,
∴AF=
a,DF=
a,
PF=AC-AF-PC=2
a-
a-
×2
a=
a,
tan∠BPC=tan∠FPD=
=
.
(3)与(2)的方法相同,设AD=a,求出DF=
a,
PF=
a,所以tan∠BPC=
.
解:(1)过D作DE∥CO交AC于E,
∵D为OA中点,
∴AE=CE=
1 |
2 |
DE |
CO |
1 |
2 |
∵点C为OB中点,
∴BC=CO,
DE |
BC |
1 |
2 |
∴
PE |
PC |
DE |
BC |
1 |
2 |
∴PC=
2 |
3 |
1 |
3 |
∴
AP |
PC |
AC-PC |
PC |
| ||
|
(2)过点D作DE∥BO交AC于E,
∵
AD |
AO |
1 |
4 |
∴
DE |
CO |
AE |
AC |
1 |
4 |
∵点C为OB中点,
∴
DE |
BC |
1 |
4 |
∴
PE |
PC |
DE |
BC |
1 |
4 |
∴PC=
4 |
5 |
3 |
5 |
过D作DF⊥AC,垂足为F,设AD=a,则AO=4a,
∵OA=OB,点C为OB中点,
∴CO=2a,
在Rt△ACO中,AC=
AO2+CO2 |
(4a)2+(2a)2 |
5 |
又∵Rt△ADF∽Rt△ACO,
∴
AF |
AO |
DF |
CO |
AD |
AC |
a | ||
2
|
∴AF=
2
| ||
5 |
| ||
5 |
PF=AC-AF-PC=2
5 |
2
| ||
5 |
3 |
5 |
5 |
2
| ||
5 |
tan∠BPC=tan∠FPD=
DF |
PF |
1 |
2 |
(3)与(2)的方法相同,设AD=a,求出DF=
| ||
n+1 |
PF=
| ||
n+1 |
| ||
n |
点评:本题难度较大,需要对平行线分线段成比例定理灵活运用,根据勾股定理构造出直角三角形并求出其直角边的长,准确作出辅助线是解决本题的关键,也是求解的难点,这就要求同学们在平时的学习中对公式定理要熟练掌握并灵活运用,不断提高自己的数学学习能力.
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