Question

如图①，已知点D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点．
（1）求证：△BMD为等腰直角三角形；
（2）将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图②所示，则（1）题中的结论“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出BM=EN=MC，DM=EM=MC，然后根据等边对等角的性质可以证明∠BMD=90°，所以△BMD为等腰直角三角形；
（2）延长DM交BC于N，先根据∠EDB=∠ABC=90°证明ED∥BC，然后根据两直线平行，内错角相等求出∠DEM=∠MCN，从而证明△EDM与△MNC全等，根据全等三角形对应边相等可得DM=MN，然后即可证明BM⊥DM，且BM=DM．
解答：（1）证明：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM=EC=MC，
∴∠MBC=∠MCB．
∴∠BME=2∠BCM．（2分）
同理可证：DM=EC=MC，∠EMD=2∠MCD．
∴∠BMD=2∠BCA=90°，（4分）
∴BM=DM．
∴△BMD是等腰直角三角形．（5分）

（2）（1）题中的结论仍然成立．
理由：延长DM与BC交于点N，（6分）
∵DE⊥AB，CB⊥AB，
∴∠EDB=∠CBD=90°，
∴DE∥BC．
∴∠DEM=∠MCN．
又∵∠EMD=∠NMC，EM=MC，
∴△EDM≌△MNC．（8分）
∴DM=MN．DE=NC=AD．
又AB=BC，
∴AB-AD=BC-CN，
∴BD=BN．
∴BM⊥DM．即∠BMD=90°．（9分）
∵∠ABC=90°，
∴BM=DN=DM．
∴△BMD是等腰直角三角形．（10分）
点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握判定定理及性质并灵活运用是解题的关键，难度中等．