Question

（1）如图，要在一块形状为直角三角形（∠C为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心O在线段AC上，且与AB、BC都相切．请你用直尺和圆规画出来（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．
（2）若AC=3，BC=4，求上述半圆的直径．

Answer 1

分析：（1）由于⊙O与BC、AB都相切，即O到AB、BC的距离相等，因此点O必为∠ABC的角平分线与线段AC的交点，可据此进行作图．
（2）设⊙O与AB的切点为D，由勾股定理易求得AB的值，根据切线长定理知：BC=BD，即可求得AD的长，设出⊙O的半径，并表示出OA、OD的长，在Rt△OAD中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径，进而可得⊙O的直径．（此题解法较多，只要能求出结果即可）

解答：解：（1）作出角平分线得（1分），作出半圆再得（1分），小结（1分），共（3分）．

（2）方法一：
解：设半⊙O切BA于点D；
∵AC=3，BC=4，
∴AB=

32+42

=5；（4分）
∵半⊙O切BA、BC于点D、C，
∴BD=BC=4，
∴AD=AB-BD=1；（5分）
又∵AB与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AB，∴∠ADO=90°；
设半⊙O的半径为r，在Rt△ADO中，由勾股定理得AD²+OD²=OA²，
即1²+r²=（3-r）²（7分）
解得r=

4

3

，2r=

8

3

，
∴半⊙O的直径等于

8

3

．（8分）
方法二：同一，证得∠ADO=90°，∵∠ACB=90°，
∴∠ADO=∠ACB，
∵∠A=∠A，
∴△ADO∽△ACB，
∴

AD

AC

=

OD

BC

，
即

1

3

=

r

4

，解得r=

4

3

，
∴半⊙O的直径等于

8

3

．
方法三：同一，证得∠ADO=90°，
∵S△ABO=

1

2

AB•OD=

1

2

AO•BC，
∴AB•OD=AO•BC，
即5r=4（3-r），
解得r=

4

3

，
∴半⊙O的直径等于

8

3

．

点评：此题考查了角平行的性质、切线的性质、切线长定理、勾股定理等知识的综合应用，难度适中．