Question

【题目】通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，

连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．

（1）思路梳理

∵AB=AD

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合

∵∠ADC=∠B=90°

∴∠FDG=180°

∴点F、D、G共线

根据 ，易证△AFG≌ ，进而得EF=BE+DF．

（2）联想拓展

如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的数量关系，并写出推理过程．

Answer 1

【答案】（1）SAS；△AFE；(2) BD2+EC2=DE2

【解析】

试题分析：（1）根据三角形全等的条件可求解；

（2）根据旋转的性质和全等三角形的性质与判定可求解.

试题解析：（1）SAS；△AFE

(2)把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，根据旋转的性质，全等三角形的性质和勾股定理，可得到BD2+EC2=DE2。

推理过程如下：

∵AB=AC，

∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合（如图）。

且△ACG≌△ABD

∴AG=AD

∵△ABC中，∠BAC=90°，

∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，即∠ECG=90°。

∴EC2+CG2=EG2。

在△AEG与△AED中，

∠EAG=∠EAD。

AD=AG，AE=AE，

∴△AEG≌△AED（SAS）。

∴DE=EG。

又∵CG=BD，

∴BD2+EC2=DE2