Question

【题目】已知：如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的点，连接AE、CE．

（1）求证：AE=CE；
（2）若将△ABE沿AB对折后得到△ABF；当点E在BD的何处时，四边形AFBE是正方形？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CB，∠BAD=∠ABC=90°，∠ABE=∠CBE=45°，

在△ABE和△CBE中，

，

∴△ABE≌△CBE（SAS），

∴AE=CE

（2）解：点E在BD的中点时，四边形AFBE是正方形；理由如下：

由折叠的性质得：∠F=∠AEB，AF=AE，BF=BE，

∵∠BAD=90°，E是BD的中点，

∴AE= BD=BE=DE，

∵AE=CE，

∴AE=BE=CE=DE=AF=BF，

∴四边形AFBE是菱形，E是正方形ABCD对角线的交点，

∴AE⊥BD，

∴∠AEB=90°，

∴四边形AFBE是正方形

【解析】（1）利用正方形的性质和SAS证明△ABE≌△CBE即可；（2）由折叠的性质得出∠F=∠AEB，AF=AE，BF=BE，由直角三角形斜边上的中线性质得出AE= BD=BE=DE，证出AE=BE=CE=DE=AF=BF，得出四边形AFBE是菱形，AE⊥BD，即可得出结论．
【考点精析】通过灵活运用翻折变换（折叠问题），掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等即可以解答此题．