题目内容

【题目】如图,在ABC中,BAC=90°, BCx轴,抛物线y=ax2-2ax+3经过ABC的三个顶点,并且与x轴交于点D、E,点A为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)连接CD,在抛物线的对称轴上是否存在一点P使PCD为直角三角形,若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)P1(1,4) P2(1,-2) .

【解析】

试题(1)根据题意知点B的坐标为(0,3)抛物线的对称轴方程为x=1,所以A点坐标为(1,4),C点坐标为(2,3),由此可求抛物线的解析式.

(2)分两种情况:CD为直角边,CD为斜边进行讨论,由勾股定理得到方程即可求出P点坐标.

试题解析:(1)y=ax2-2ax+3

它的对称轴为直线x=

令x=0,则y=3,

B(0,3)

根据抛物线的对称性知:C(2,3),A(1,4)

A1,4)代入y=ax2-2ax+3,得:a=-1

抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3

(2)存在.分两种情况:

(1)当CD为直角边时,设P(1,a):

i)当点P在x轴上方时,DP=,CP=

CD2+CA2=AD2

18+2=4+a2

即:a2=16

解得a=±4(负舍去)

a=4

ii)当点P在x轴下方时,CD2+DP2=CP2

解得:a=-2

(2)当CD为斜边时,同理可以得出:a=

综上所述,点P的坐标分别为:P1(1,4) P2(1,-2)

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