Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2 ，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF的周长不变；③点C到线段EF的最大距离为1．其中正确的结论有 ． （填写所有正确结论的序号）

Answer 1

【答案】①③
【解析】解：①连接CD；

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
∵AE=CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．
∴①正确；
②当E、F分别为AC、BC中点时，EF取最小值，
∴EF的值是变化的，
∴DE和DF也是变化的，
∴四边形CEDF的周长变，
∴②不正确，
③△DEF是等腰直角三角形， DE=EF，
当EF∥AB时，∵AE=CF，
∴E，F分别是AC，BC的中点，故EF是△ABC的中位线，
∴EF取最小值 =2，∵CE=CF= ，∴此时点C到线段EF的最大距离= EF=1，
∴③正确，
所以答案是：①③
【考点精析】利用等腰直角三角形对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．