Question

已知：如图，⊙O的直径AD=2，

BC

=

CD

=

DE

，∠BAE=90°．
（1）求△CAD的面积；
（2）求四边形ABCD区域的面积与⊙O的面积之比（结果保留π）

Answer 1

分析：（1）根据等弧所对的圆周角相等，以及直径所对的圆周角是直角，即可确定△ACD是一个角是30度的直角三角形，利用三角函数即可求得AC，CD的长，从而求得三角形的面积；
（2）过B作BF⊥AC，垂足为F，利用三角形的面积公式即可求得△ABC的面积，则四边形ABCD的面积即可求得，然后求得圆的面积即可求解．

解答：解：（1）∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°
∵

BC

=

CD

=

DE

，∠BAE=90°，
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=30°
∵在Rt△ACD中，AD=2，∠CAD=30°，
∴CD=2sin30°=1，AC=2cos30°=

3

∴S_△ACD=

1

2

AC•CD=

3

2

（2）连接BD，∵AD为直径，∴∠ABD=90°
又∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°，
∴∠BDA=30°
∴∠BCA=∠BDA=30°，
∴∠BAC=∠BCA，
∴BA=BC
过B作BF⊥AC，垂足为F，
∴AF=

1

2

AC=

3

2

，
∴BF=AFtan30°=

1

2

∴S_△ABC=

1

2

AC•BF=

3

4

∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=

3 3

4

∵S_⊙O=π×1²=π，
∴四边形ABCD区域的面积与⊙O的面积之比=

3 3 4

π

=

3 3

4π

．

点评：本题考查了圆周角定理，正确利用圆周角定理确定△ACD是一个角是30度的直角三角形是关键．