Question

在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴交于过点A，B，点C是第一象限内的一点，且AB=AC，AB⊥AC，抛物线经过A，C两点，与轴的另一交点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）判断直线AB与CD的位置关系，并证明你的结论；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）AB∥CD，证明见解析；（3）存在，（，1），（，1），（，-1），（，-1）．

试题分析：（1）求得点C的坐标，应用待定系数法即可求得抛物线的解析式．
（2）根据勾股定理求出AC，CD，AD的长，从而根据勾股定理逆定理得到△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，由∠BAC=90°，得出AB∥CD．
（3）由题意可知，要使得以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形，只需要点N到x轴的距离与点B到x轴的距离相等．据此列出方程求解即可．
（1）由题意可求点A(2，0)，点B（0,1）．
过点C作CE⊥x轴，易证△AOB≌△ECA．
∴ OA=CE=2，OB=AE=1．
∴ 点C的坐标为（3,2）．
将点A(2，0)，点C(3，2)代入，
得，，解得．
∴二次函数的解析式为．

（2）AB∥CD．证明如下：
令，解得．
∴ D点坐标为（7,0）．
可求 ．
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°．
又∵∠BAC=90°，
∴ AB∥CD．
（3）如图，由题意可知，要使得以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形，只需要点N到x轴的距离与点B到x轴的距离相等．
∵ B点坐标为（0,1），
∴ 点N到x轴的距离等于1．
可得和．
解这两个方程得．
∴点N的坐标分别为（，1），（，1），（，-1），（，-1）．