Question

为了美化校园环境，南开中学决定对后门的桃李湖进行土建改造，在改造过程中，计划购买并种植树苗400株，并要求两年后这400株树苗对校园内的空气净化指数不低于90．现可供选择的树苗有桃树、李树、柳树三种，并且要求购买柳树的棵树y（株）与桃树的棵树x（株）存在如表关系：

桃树x（株）	50	60	70	80	90
柳树y（株）	300	280	260	240	220

某树苗公司提供如下信息：

树苗	树苗批发的单价（元/株）	两年后每棵树对空气的净化指数
桃树	300	0.4
李树	200	0.1
柳树	p	0.2

其中每棵柳树的批发价格p（元）与株树y（株）的关系可用右图的图象反映．
（1）直接写出y与x及p与y的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当x为何值时，才能使购买树苗的总费用w（元）最低？最低的总费用是多少元？
（3）若学校要求柳树种植超过100株，则种植这400株树苗需要的人工费m=3x²-560x+16800，每年每棵树保养的费用预计50元，若购买、种植和保养这400株树苗两年预计共花费学校16万元，且使校园内空气净化指数最高，则需要购买桃树多少株？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据题意结合图表以及函数图象上点的坐标求出y与x以及P与y之间的函数关系式即可；
（2）分别根据当0≤y≤100时，当y≥100时，设购买树苗的总费用为W元，分别得出函数最值即可；
（3）根据购买树苗的总费+人工费+保养费=160000，即可得出x的值，进而得出需要购买桃树的数量．

解答：解：（1）将（50，300），（60，280）代入y=kx+b得：

50k+b=300 60k+b=280

，
解得：

k=-2 b=400

∴y与x的函数关系式为：y=-2x+400，
设p与y的函数关系式为：P=ay+c，

100a+c=450 120a+c=400

，
解得：

a=-2.5 c=700

，
∴p与y的函数关系式为：P=-2.5y+700，
∴p与y的函数关系式为：P=

450(0＜y≤100) -2.5y+700(y≥100)

；

（2）当0≤y≤100时，由

-2x+400≥0 -2x+400≤100 0.4x+0.1(400-x-y)+0.2y≥90

，
解得：150≤x≤200，
w=300x+200（400-x-y）+450y=-400x+180000，
∵-400＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴x=200时，w_最小=100000．
当y≥100时，由

-2x+400≥100 0.4x+0.1(400-x-y)+0.2y≥90

，
解得：100≤x≤150，
w=300x+200（400-x-y）+py
=500x+[-

1

2

（-2x+400）+500]（-2x+400）
=-2x²+300x+120000，
∵x=-

b

2a

=75且100≤x≤150时，w随x增大而减小，
∴x=150时，w_最小=120000，
又∵10000＜120000，
∴x=200时，w最小=100000，
答：当x=200时，购买树苗的总费用最少，最少为100000元；

（3）由题意得出：（-2x²+300x+120000）+（3x²-560x+16800）+2×50×400=160000，
∴x²-260x+16800=0，
解得：x₁=120，x₂=140，
又∵使空气净化指数n=0.4x+0.1x+0.2（-2x+400）=0.1x+80最高，
∴x=140，
答：需要购买桃树140株．

点评：此题主要考查了利用一次函数与二次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解．注意要根据自变量的实际范围确定函数的最值．