题目内容
【题目】(问题探究)小敏在学习了Rt△ABC的性质定理后,继续进行研究.
(1)(i)她发现图①中,如果∠A=30°,BC与AB存在特殊的数量关系是 ;
(ii)她将△ABC沿AC所在的直线翻折得△AHC,如图②,此时她证明了BC和AB的关系;请根据小敏证明的思路,补全探究的证明过程;
猜想:如果∠A=30°,BC与AB存在特殊的数量关系是 ;
证明:△ABC沿AC所在的直线翻折得△AHC,
(2)如图③,点E、F分别在四边形ABCD的边BC、CD上,且∠B=∠D=90°,连接AE、AF、EF,将△ABE、△ADF折叠,折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形,连接AC,若∠EAF=30°,AB2=27,则△CEF的周长为 .
【答案】(1)(i)BC=AB;(ii)BC=
AB;(2)6
【解析】
(1)(i)在AB上截取BD=BC,可证△BCD是等边三角形,CD=BD,∠BDC=∠BCD=60°,可得BD=AD=CD=BC,可得结论;
(ii)由折叠的性质可得AB=AH,∠BAC=∠HAC=30°,BC=CH,可证△ABH是等边三角形,可得AB=BH=2BC;
(2)由折叠的性质可得AB=AD,BE+DF=EF,∠BAD=2∠EAF=60°,由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△ADC,可得∠BAC=∠DAC=30°,BC=CD,由直角三角形的性质可求BC=3,即可求解.
解:(1)(i)BC=AB,
理由如下:在AB上截取BD=BC,
∵∠A=30°,∠ACB=90°,
∴∠B=60°,且BD=BC,
∴△BCD是等边三角形,
∴CD=BD,∠BDC=∠BCD=60°,
∴∠ACD=30°=∠A,
∴AD=CD,
∴BD=AD=BC,
∴BC=AB;
(ii)∵将△ABC沿AC所在的直线翻折得△AHC,
∴△ABC≌△AHC,
∴AB=AH,∠BAC=∠HAC=30°,BC=CH,
∴∠BAH=60°,且AB=AH,
∴△ABH是等边三角形,
∴AB=BH,
∴BC=BH=
AB;
(2)∵将△ABE、△ADF折叠,折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形,
∴AB=AD,BE+DF=EF,∠BAD=2∠EAF=60°,
∵AB=AD,AC=AC,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),
∴∠BAC=∠DAC=30°,BC=CD,
∵AB2=27,
∴AB=3,
∵tan∠BAC=,
∴BC=3=CD,
∴△CEF的周长=EC+CF+EF=EC+CF+BE+DF=BC+CD=6.
故答案为:6.
