题目内容

【题目】(问题探究)小敏在学习了RtABC的性质定理后,继续进行研究.

1)(i)她发现图①中,如果∠A30°BCAB存在特殊的数量关系是   

ii)她将△ABC沿AC所在的直线翻折得△AHC,如图②,此时她证明了BCAB的关系;请根据小敏证明的思路,补全探究的证明过程;

猜想:如果∠A30°BCAB存在特殊的数量关系是   

证明:△ABC沿AC所在的直线翻折得△AHC

2)如图③,点EF分别在四边形ABCD的边BCCD上,且∠B=∠D90°,连接AEAFEF,将△ABE、△ADF折叠,折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形,连接AC,若∠EAF30°AB227,则△CEF的周长为   

【答案】1)(iBCAB;(iiBCAB;(26

【解析】

1)(i)在AB上截取BDBC,可证△BCD是等边三角形,CDBD,∠BDC=∠BCD60°,可得BDADCDBC,可得结论;

ii)由折叠的性质可得ABAH,∠BAC=∠HAC30°BCCH,可证△ABH是等边三角形,可得ABBH2BC

2)由折叠的性质可得ABADBE+DFEF,∠BAD2EAF60°,由HL可证RtABCRtADC,可得∠BAC=∠DAC30°BCCD,由直角三角形的性质可求BC3,即可求解.

解:(1)(iBCAB

理由如下:在AB上截取BDBC

∵∠A30°,∠ACB90°

∴∠B60°,且BDBC

∴△BCD是等边三角形,

CDBD,∠BDC=∠BCD60°

∴∠ACD30°=∠A

ADCD

BDADBC

BCAB

ii)∵将△ABC沿AC所在的直线翻折得△AHC

∴△ABC≌△AHC

ABAH,∠BAC=∠HAC30°BCCH

∴∠BAH60°,且ABAH

∴△ABH是等边三角形,

ABBH

BCBHAB

2)∵将△ABE、△ADF折叠,折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形,

ABADBE+DFEF,∠BAD2EAF60°

ABADACAC

RtABCRtADCHL),

∴∠BAC=∠DAC30°BCCD

AB227

AB3

tanBAC

BC3CD

∴△CEF的周长=EC+CF+EFEC+CF+BE+DFBC+CD6

故答案为:6

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