题目内容

【题目】如图,四边形ABCD是正方形,点G是BC边上任意一点,DEAG于E,BFDE,交AG于F.

(1)求证:AF﹣BF=EF;

(2)将ABF绕点A逆时针旋转,使得AB与AD重合,记此时点F的对应点为点F′,若正方形边长为3,求点F′与旋转前的图中点E之间的距离.

【答案】(1)证明见解析(2)3

【解析】(1)证明:如图,正方形ABCD,AB=AD,BAD=BAG+EAD=90°。

DEAG,∴∠AED=90°。∴∠EAD+ADE=90°。∴∠ADE=BAF。

BFDE,∴∠AEB=AED=90°。

AED和BFA中,AEB=AED,ADE=BAF,AD = AB。

∴△AED≌△BDA(AAS)BF=AE

AF﹣AE=EF,AF﹣BF=EF

(2)解:如图,

根据题意知:FAF′=90°,DE=AF′=AF,

∴∠F′AE=AED=90°,即F′AE+AED=180°

AF′ED四边形AEDF′为平行四边形

AED=90°,四边形AEDF′是矩形

EF′=AD=3

点F′与旋转前的图中点E之间的距离为3。

(1)由四边形ABCD为正方形,可得出BAD为90°,AB=AD,进而得到BAG与EAD互余,又DE垂直于AG,得到EAD与ADE互余,根据同角的余角相等可得出ADE=BAF,利用AAS可得出三角形ABF与三角形ADE全等,利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE,由AF﹣AE=EF,等量代换可得证

(2)将ABF绕点A逆时针旋转,使得AB与AD重合,记此时点F的对应点为点F′,连接EF′,如图所示,由旋转的性质可得出FAF′为直角,AF=AF′,由(1)的全等可得出AF=DE,等量代换可得出DE=AF′=AF,再利用同旁内角互补两直线平行得到AF′与DE平行,根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得出AEDF′为平行四边形,再由一个角为直角的平行四边形为矩形可得出AEDF′为矩形,根据矩形的对角线相等可得出EF′=AD,由AD的长即可求出EF′的长

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