Question

【题目】在矩形ABCD中， =a，点G，H分别在边AB，DC上，且HA=HG，点E为AB边上的一个动点，连接HE，把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE．

（1）如图1，当DH=DA时，填空：∠HGA=度；
（2）如图1，当DH=DA时，若EF∥HG，求∠AHE的度数，并求此时的最小值；
（3）如图3，∠AEH=60°，EG=2BG，连接FG，交边DC于点P，且FG⊥AB，G为垂足，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）45°
（2）

解：分两种情况讨论：

第一种情况：

∵∠HAG=∠HGA=45°；

∴∠AHG=90°，

由折叠可知：∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，

∵EF∥HG，

∴∠FHG=∠F=45°，

∴∠AHF=∠AHG﹣∠FHG=45°，

即∠AHE+∠FHE=45°，

∴∠AHE=22.5°，

此时，当B与G重合时，a的值最小，最小值是2；

第二种情况：

∵EF∥HG，

∴∠HGA=∠FEA=45°，

即∠AEH+∠FEH=45°，

由折叠可知：∠AEH=∠FEH，

∴∠AEH=∠FEH=22.5°，

∵EF∥HG，

∴∠GHE=∠FEH=22.5°，

∴∠AHE=90°+22.5°=112.5°，

此时，当B与E重合时，a的值最小，

设DH=DA=x，则AH=GH= x，

在Rt△AHG中，∠AHG=90°，由勾股定理得：

AG= AH=2x，

∵∠AEH=∠GHE=22.5°，

∴GH=GE= x，

∴AB=AE=2x+ x，

∴a的最小值是 =2+ .

（3）

解：如图：过点H作HQ⊥AB于Q，

在矩形ABCD中，∠D=∠DAQ=90°，

∴∠D=∠DAQ=∠AQH=90°，

∴四边形DAQH为矩形，

∴AD=HQ，

设GB=x，则EG=2x，

由折叠可知：∠AEH=∠FEH=60°，

∴∠FEG=60°，

在Rt△EFG中，EG=EF×cos60°，EF=4x，

∴AG=6x

∵HA=HG，HQ⊥AB，

∴AQ=GQ=3x

∴EQ=x

在Rt△HQE中，

∵∠AEH=60°

∴HQ= x

∴a= = ．

【解析】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADH=90°，
∵DH=DA，
∴∠DAH=∠DHA=45°，
∴∠HAE=45°，
∵HA=HG，
∴∠HAE=∠HGA=45°；
所以答案是：45°；
·（3）另解：
如图：过点H作HQ⊥AB于Q，则∠AQH=∠GOH=90°，
则∠AQH=∠GQH=90°，
在矩形ABCD中，∠D=∠DAQ=90°，
∴∠D=∠DAQ=∠AQH=90°，
∴四边形DAQH为矩形，
∴AD=HQ，
设AD=x，GB=y，则HQ=x，EG=2y，
由折叠可知：∠AEH=∠FEH=60°，
∴∠FEG=60°，
在Rt△EFG中，EG=EF×cos60°，则EF=4y，
在Rt△HQE中，EQ= = x，
∴QG=QE+EG= x+2y，
∵HA=HG，HQ⊥AB，
∴AQ=GQ= x+2y，
∴AE=AQ+QE= x+2y，
由折叠可知：AE=EF，
∴ x+2y=4y，
∴y= x，
∴AB=2AQ+GB=2（ x+2y）+y= x，
∴a= = ．
【考点精析】本题主要考查了含30度角的直角三角形和矩形的性质的相关知识点，需要掌握在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等才能正确解答此题．